1. Considere uma barra de comprimento L e densidade variando conforme a densidade \lambda(x)=\lambda_{0} x, sendo \lambda_{0} uma constante conhecida e x a posição em relação a uma das pontas da barra.
(b) Encontre o potencial da barra em uma posição localizada em uma distância r do centro da barra em uma linha ortogonal a linha da barra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente isto:
  • Uma barra de comprimento L.
  • Densidade linear que varia segundo \lambda(x)=\lambda_{0}\,x, onde \lambda_{0} é constante conhecida e x é a posição medida a partir de uma das pontas da barra (ou seja, x\in[0,L]).
  • Pede-se (parte b) o potencial produzido pela barra em um ponto P que fica a uma distância r do centro da barra, na direção perpendicular à barra (ou seja, o ponto está sobre a mediatriz da barra, a uma distância r do seu centro).
Passo importante de entendimento: a densidade está dada em função da posição contada desde uma das pontas; porém o ponto onde queremos o potencial está medido a partir do centro. Vou transformar coordenadas para trabalhar com limites simétricos em torno do centro.

Passo 2

Escolha de coordenadas e expressão do elemento de massa.
  • Coloco o eixo x ao longo da barra com origem no centro da barra. Assim a barra vai de s=-\dfrac{L}{2} até s=+\dfrac{L}{2}, onde uso s para a posição medida a partir do centro.
  • A densidade original é dada por \lambda(x)=\lambda_{0}x com x medida desde a ponta esquerda (digamos). A relação entre x e s é
x = s + \frac{L}{2}.
  • Portanto, reescrevendo a densidade em função de s:
\lambda(s)=\lambda_{0}\!\left(s+\frac{L}{2}\right).
  • Um elemento de massa da barra é \mathrm{d}m=\lambda(s)\,\mathrm{d}s.

Passo 3

Escrever o potencial como integral. (Aqui uso a expressão do potencial gravitacional; para potencial elétrico basta trocar -G por constante adequada k e m por carga.)
  • A contribuição de um elemento \mathrm{d}m localizado em s ao potencial no ponto P (a uma distância r do centro, sobre a perpendicular) é
\mathrm{d}V = -G\,\frac{\mathrm{d}m}{\text{distância}} = -G\,\frac{\lambda(s)\,\mathrm{d}s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.â
  • Integrando ao longo de toda a barra:
V(r) = -G\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\lambda(s)}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\,\mathrm{d}s = -G\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\lambda_{0}\!\left(s+\dfrac{L}{2}\right)}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\,\mathrm{d}s.

Passo 4

Separar a integral em duas partes e usar simetria para simplificar.
  • Separei a integranda:
V(r) = -G\lambda_{0}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\,\mathrm{d}s \;-\;G\lambda_{0}\frac{L}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\,\mathrm{d}s.
  • Observe que a primeira integral contém a função s/\sqrt{r^{2}+s^{2}}, que é ímpar em s. Integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] obtém-se zero. Logo a primeira integral anula-se:
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\,\mathrm{d}s = 0.
  • Portanto resta apenas a segunda parcela:
V(r) = -G\lambda_{0}\frac{L}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\,\mathrm{d}s.

Passo 5

Calcular a integral restante usando uma primitiva conhecida.
  • A primitiva clássica é
\int\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} = \ln\!\bigl(s+\sqrt{r^{2}+s^{2}}\bigr) = \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{s}{r}\right),
onde \operatorname{arsinh} é o inverso do seno hiperbólico e as duas formas são equivalentes (diferença por uma constante).
  • Avaliando a integral definida:
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} = \left[\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{s}{r}\right)\right]_{-L/2}^{L/2} = \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{L}{2r}\right)-\operatorname{arsinh}\!\left(-\frac{L}{2r}\right).
  • Como \operatorname{arsinh} é ímpar, isso vale
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} = 2\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{L}{2r}\right).

Passo 6

Substituir o resultado da integral na expressão do potencial e simplificar.
  • Voltando para V(r):
V(r) = -G\lambda_{0}\frac{L}{2}\cdot 2\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{L}{2r}\right).
  • Cancelando o 2:
V(r) = -G\lambda_{0}L\;\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{L}{2r}\right).

Passo 7

Interpretações úteis e forma alternativa em termos da massa total (verificação rápida).
  • A massa total da barra é
M=\int_{0}^{L}\lambda_{0}x\,\mathrm{d}x=\lambda_{0}\frac{L^{2}}{2},
portanto \lambda_{0}=\dfrac{2M}{L^{2}}. Substituindo em V(r) obtemos a forma
V(r) = -\frac{2GM}{L}\;\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{L}{2r}\right),
que às vezes é mais conveniente para comparar escalas (por exemplo limites r\gg L ou r\ll L).

Resposta

V(r) = -G\,\lambda_{0}\,L\;\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{L}{2r}\right).

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