- Considere uma barra de comprimento
e densidade variando conforme a densidade
, sendo
uma constante conhecida e
a posição em relação a uma das pontas da barra.
(b) Encontre o potencial da barra em uma posição localizada em uma distância
do centro da barra em uma linha ortogonal a linha da barra.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente isto:
- Uma barra de comprimento
. - Densidade linear que varia segundo
, onde é constante conhecida e é a posição medida a partir de uma das pontas da barra (ou seja, ). - Pede-se (parte b) o potencial produzido pela barra em um ponto
que fica a uma distância do centro da barra, na direção perpendicular à barra (ou seja, o ponto está sobre a mediatriz da barra, a uma distância do seu centro).
Passo importante de entendimento: a densidade está dada em função da posição contada desde uma das pontas; porém o ponto onde queremos o potencial está medido a partir do centro. Vou transformar coordenadas para trabalhar com limites simétricos em torno do centro.
Passo 2
Escolha de coordenadas e expressão do elemento de massa.
- Coloco o eixo
ao longo da barra com origem no centro da barra. Assim a barra vai de até , onde uso para a posição medida a partir do centro. - A densidade original é dada por
com medida desde a ponta esquerda (digamos). A relação entre e é
- Portanto, reescrevendo a densidade em função de
:
- Um elemento de massa da barra é
.
Passo 3
Escrever o potencial como integral. (Aqui uso a expressão do potencial gravitacional; para potencial elétrico basta trocar
por constante adequada
e
por carga.)
- A contribuição de um elemento
localizado em ao potencial no ponto (a uma distância do centro, sobre a perpendicular) é
- Integrando ao longo de toda a barra:
Passo 4
Separar a integral em duas partes e usar simetria para simplificar.
- Separei a integranda:
- Observe que a primeira integral contém a função
, que é ímpar em . Integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico obtém-se zero. Logo a primeira integral anula-se:
- Portanto resta apenas a segunda parcela:
Passo 5
Calcular a integral restante usando uma primitiva conhecida.
- A primitiva clássica é
onde
é o inverso do seno hiperbólico e as duas formas são equivalentes (diferença por uma constante).
- Avaliando a integral definida:
- Como
é ímpar, isso vale
Passo 6
Substituir o resultado da integral na expressão do potencial e simplificar.
- Voltando para
:
- Cancelando o
:
Passo 7
Interpretações úteis e forma alternativa em termos da massa total (verificação rápida).
- A massa total da barra é
portanto
. Substituindo em
obtemos a forma
que às vezes é mais conveniente para comparar escalas (por exemplo limites
ou
).