1. Considere uma barra de comprimento L e densidade variando conforme a densidade \lambda(x)=\lambda_{0} x, sendo \lambda_{0} uma constante conhecida e x a posição em relação a uma das pontas da barra.
(a) Encontre a carga líquida na barra.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de comprimento L cuja densidade linear de carga varia com a posição segundo \lambda(x)=\lambda_{0}\,x. Aqui estão as informações e o que se pede:
  • Dado: \lambda(x)=\lambda_{0}\,x, com \lambda_{0} constante conhecida e x medido a partir de uma das pontas da barra, indo de x=0 até x=L.
  • Pedido: calcular a carga líquida total da barra (ou seja, a carga total Q contida no segmento 0\le x\le L).

Passo 2

Ideia básica e fórmula a usar. A densidade linear \lambda(x) significa carga por unidade de comprimento em cada posição x. Para obter a carga total somamos (integrando) a contribuição de cada pedacinho de barra. Em linguagem matemática isso vira a integral
Q=\int_{\text{barra}}\lambda(x)\,dx.
Aqui o diferencial dx representa um pequeno pedaço de comprimento; \lambda(x)\,dx é a carga nesse pedaço. A operação \int soma essas cargas ao longo de toda a barra.

Passo 3

Aplicando ao caso dado: os limites de integração são x=0 até x=L. Substituindo \lambda(x)=\lambda_{0}\,x obtemos a integral explícita
Q=\int_{0}^{L}\lambda_{0}\,x\,dx.
Posso tirar a constante \lambda_{0} fora da integral:
Q=\lambda_{0}\int_{0}^{L}x\,dx.

Passo 4

Calcular a integral \int_{0}^{L}x\,dx. Uso a regra potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=1, então
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto, aplicando os limites de 0 a L,
\int_{0}^{L}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{L}=\frac{L^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{L^{2}}{2}.

Passo 5

Voltando para Q e combinando resultados:
Q=\lambda_{0}\cdot\frac{L^{2}}{2}=\frac{\lambda_{0}L^{2}}{2}.
Comentário prático: se x está em metros, então \lambda(x) tem unidades de carga por metro; como \lambda(x)=\lambda_{0}x, a constante \lambda_{0} tem unidades de carga por metro ao quadrado. O resultado Q tem unidades de carga (por exemplo, coulombs).

Resposta

Q=\frac{\lambda_{0}L^{2}}{2}

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