Considere uma barra de comprimento L e densidade variando conforme a densidade \lambda(x)=\lambda_{0} x, sendo \lambda_{0} uma constante conhecida e x a posição em relação a uma das pontas da barra.
(a) Encontre a carga líquida na barra.
Passo 1
O enunciado dá uma barra de comprimento L cuja densidade linear de carga varia com a posição segundo \lambda(x)=\lambda_{0}\,x. Aqui estão as informações e o que se pede:
Dado: \lambda(x)=\lambda_{0}\,x, com \lambda_{0} constante conhecida e x medido a partir de uma das pontas da barra, indo de x=0 até x=L.
Pedido: calcular a carga líquida total da barra (ou seja, a carga total Q contida no segmento 0\le x\le L).
Passo 2
Ideia básica e fórmula a usar. A densidade linear \lambda(x) significa carga por unidade de comprimento em cada posição x. Para obter a carga total somamos (integrando) a contribuição de cada pedacinho de barra. Em linguagem matemática isso vira a integral
Q=\int_{\text{barra}}\lambda(x)\,dx.
Aqui o diferencial dx representa um pequeno pedaço de comprimento; \lambda(x)\,dx é a carga nesse pedaço. A operação \int soma essas cargas ao longo de toda a barra.
Passo 3
Aplicando ao caso dado: os limites de integração são x=0 até x=L. Substituindo \lambda(x)=\lambda_{0}\,x obtemos a integral explícita
Q=\int_{0}^{L}\lambda_{0}\,x\,dx.
Posso tirar a constante \lambda_{0} fora da integral:
Q=\lambda_{0}\int_{0}^{L}x\,dx.
Passo 4
Calcular a integral \int_{0}^{L}x\,dx. Uso a regra potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
Comentário prático: se x está em metros, então \lambda(x) tem unidades de carga por metro; como \lambda(x)=\lambda_{0}x, a constante \lambda_{0} tem unidades de carga por metro ao quadrado. O resultado Q tem unidades de carga (por exemplo, coulombs).