02- Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade \mathrm{v}_{0}=100 / \mathrm{m} / \mathrm{s} formando um ângulo \theta=60^{\circ} com a horizontal. Sendo \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) a altura maxıma atıngıda

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (apenas o que está no texto do problema):
  • Velocidade inicial: v_{0}=100\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal: \theta=60^\circ.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Ponto de lançamento: origem (altura inicial y_0=0).
  • O que é pedido:
    • (a) a altura máxima atingida pelo corpo.

Passo 2

Primeiro passo físico-matemático importante: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é porque a altura máxima depende só da componente vertical.
  • A componente vertical da velocidade inicial é dada por \;v_{0y}=v_0\sin\theta\;.
  • Como \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos v_{0y}=100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
Vou explicar por que fazemos isso: o movimento vertical obedece às equações do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado) com aceleração -g. A componente horizontal não influencia a altura máxima.

Passo 3

Agora achar a altura máxima. Dois métodos simples; uso o método direto com equação de velocidade-quadrado porque é curto e elegante.
A equação de cinemática que relaciona velocidades e deslocamento vertical é
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\,(y - y_0),
onde
  • v_y é a velocidade vertical no instante considerado,
  • v_{0y} é a componente vertical inicial,
  • y é a coordenada vertical naquele instante,
  • y_0 é a altura inicial (aqui y_0=0),
  • g é a aceleração da gravidade (positiva no termo, subtrai porque aceleração é para baixo).
No topo da trajetória a velocidade vertical é zero, ou seja v_y=0. Substituindo v_y=0 e y_0=0 se obtém a altura máxima h_{\max}:
0 = v_{0y}^2 - 2g\,h_{\max} \quad\Rightarrow\quad h_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g}.

Passo 4

Substituir v_{0y}=50\sqrt{3} e g=10 na fórmula:
  • Primeiro calcule v_{0y}^2: v_{0y}^2 =(50\sqrt{3})^2 = 50^2\cdot(\sqrt{3})^2 = 2500\cdot 3 = 7500.
  • Agora h_{\max}=\frac{7500}{2\cdot 10}=\frac{7500}{20}=375.
Portanto o cálculo dá 375 (unidades de metros).

Passo 5

Verificação rápida (método alternativo por tempo até o topo) — só para dar confiança no resultado:
  • Tempo até o topo: t_{\text{top}}=\dfrac{v_{0y}}{g}=\dfrac{50\sqrt{3}}{10}=5\sqrt{3}\\ \mathrm{s}.
  • Altura por posição: h_{\max}=v_{0y}t_{\text{top}}-\dfrac{1}{2}g t_{\text{top}}^2.
  • Substituindo: h_{\max}=50\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}-\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot(5\sqrt{3})^2 =250\cdot 3 -5\cdot 75=750-375=375,
confirma o resultado anterior.

Resposta

375\\ \mathrm{m}

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