01 Valor 5.0] Nessa questão de prova pretendemos avaliar o conhecimento do aluno sobre diferenciais exatos e inexatos aplicados à termodinâmica.
Combinando-se a energia de um gàs ideal monoatômico
com a equação de estado do gás
, podemos reescrever a energia desse sistema
em função das variáveis de estado pressão e volume. Sobre essa equação,
a) Qual é o diferencial total de energia dE de um gás ideal?
b) Sem utilizar o critério de Euler, justifique o fato de dE ser exato.
c) Demonstre que
è exato segundo o critério de Euler.
d) Demonstre que de calculado no exercício anterior é um diferencial exato via integração por dois caminhos distintos no dominio P.V isto é,
e) Sem utilizar o critério de Euler explique se
è exata ou inexata;
Combinando-se a energia de um gàs ideal monoatômico
a) Qual é o diferencial total de energia dE de um gás ideal?
b) Sem utilizar o critério de Euler, justifique o fato de dE ser exato.
c) Demonstre que
d) Demonstre que de calculado no exercício anterior é um diferencial exato via integração por dois caminhos distintos no dominio P.V isto é,
Passo 1
Beleza, vamos resumir rapidinho o que a gente tem e que teoria vamos usar. O enunciado diz que, pra um gás ideal monoatômico,
- a energia interna é
- a equação de estado é
Dessa combinação a gente chega em
As perguntas (a) a (e) querem que a gente:
– (a) ache o diferencial total ,
– (b) justifique sem usar o critério de Euler que é exato,
– (c) mostre via critério de Euler que é exato,
– (d) integre em dois caminhos no plano
e veja que dá a mesma coisa,
– (e) explique sem Euler se (onde
) é exata ou não.
– (a) ache o diferencial total
– (b) justifique sem usar o critério de Euler que
– (c) mostre via critério de Euler que é exato,
– (d) integre
– (e) explique sem Euler se
Conteúdo necessário:
• Noções de diferencial total e diferencial exato (funções de estado versus de caminho).
• Critério de Euler para exatidão de formas :
• Noções de diferencial total e diferencial exato (funções de estado versus de caminho).
• Critério de Euler para exatidão de formas
• Como integrar uma forma diferencial ao longo de caminhos no plano
.
Passo 2
(a) “Qual é o diferencial total de energia
?”
A gente parte de
A gente parte de
Para achar o diferencial total usa-se a regra de produto (teoria de diferencial total):
Aqui
Logo
Passo 3
(b) “Por que, sem usar Euler,
é exato?”
Exato significa que existe uma função cuja diferencial é exatamente esse
.
– Teoria: energia interna é função de estado, depende só de e
, não do caminho.
– Conclusão: como a gente derivou direto de ,
é total e, portanto, exato.
Exato significa que existe uma função
– Teoria: energia interna é função de estado, depende só de
– Conclusão: como a gente derivou direto de
Passo 4
(c) “Mostre com o critério de Euler que
é exato.”
Para
Para
o teste é verificar
Aqui
e
.
Como os dois são iguais, concluímos que
é exato pelo critério de Euler.
Passo 5
(d) “Integre
em dois caminhos e veja que dá o mesmo resultado.”
Forma .
Forma
Caminho 1:
(P1,V1)→(P1,V2)
– aqui dP=0, só tem .
(P1,V2)→(P2,V2)
– aqui dV=0, só tem .
Somando:
(P1,V1)→(P1,V2)
– aqui dP=0, só tem
(P1,V2)→(P2,V2)
– aqui dV=0, só tem
Somando:
Caminho 2:
(P1,V1)→(P2,V1)
– dV=0:
(P2,V1)→(P2,V2)
– dP=0:
Somando dá de novo
(P1,V1)→(P2,V1)
– dV=0:
(P2,V1)→(P2,V2)
– dP=0:
Somando dá de novo
Ou seja, o valor não depende do caminho – é diferencial exato.
Passo 6
(e) “Sem usar Euler,
é exata ou inexata?”
Na termodinâmica o trabalho elemental é . Então
Na termodinâmica o trabalho elemental é
Mas
é o diferencial total da função de estado
. Logo
é um diferencial exato (porque é exatamente
).
Resposta
a)
b) É exato pois vem do total de , e energia interna é função de estado.
c) Pelo critério de Euler, , logo exato.
d) Integrando em (P1,V1)→(P1,V2)→(P2,V2) ou em (P1,V1)→(P2,V1)→(P2,V2) dá sempre .
e) , que é exato pois é o diferencial da função
.
b) É exato pois vem do total de
c) Pelo critério de Euler,
d) Integrando em (P1,V1)→(P1,V2)→(P2,V2) ou em (P1,V1)→(P2,V1)→(P2,V2) dá sempre
e)