01 Valor 5.0] Nessa questão de prova pretendemos avaliar o conhecimento do aluno sobre diferenciais exatos e inexatos aplicados à termodinâmica.
Combinando-se a energia de um gàs ideal monoatômico E=32 n R T com a equação de estado do gás P V=n R T, podemos reescrever a energia desse sistema
L P cdot V=32 P V
em função das variáveis de estado pressão e volume. Sobre essa equação,
a) Qual é o diferencial total de energia dE de um gás ideal?
b) Sem utilizar o critério de Euler, justifique o fato de dE ser exato.
c) Demonstre que d E è exato segundo o critério de Euler.
d) Demonstre que de calculado no exercício anterior é um diferencial exato via integração por dois caminhos distintos no dominio P.V isto é,
l caminho 1=(P 1, V 1) (P 1, V 2) (P 2, V 2) caminho 2=(P 1, V 1) (P 2, V 1) (P 2, V 2)
e) Sem utilizar o critério de Euler explique se d LP è exata ou inexata;

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que a gente tem e que teoria vamos usar. O enunciado diz que, pra um gás ideal monoatômico,
  1. a energia interna é
E=32,nRT
  1. a equação de estado é
PV=nRT
Dessa combinação a gente chega em
E=32,PV,
As perguntas (a) a (e) querem que a gente:
– (a) ache o diferencial total dE,
– (b) justifique sem usar o critério de Euler que dE é exato,
– (c) mostre via critério de Euler que é exato,
– (d) integre dE em dois caminhos no plano (P,V) e veja que dá a mesma coisa,
– (e) explique sem Euler se de<a L/P (onde de<a L=P,dV) é exata ou não.
Conteúdo necessário:
• Noções de diferencial total e diferencial exato (funções de estado versus de caminho).
• Critério de Euler para exatidão de formas M(P,V),dP + N(P,V),dV:
partial Mpartial V=partial Npartial P
• Como integrar uma forma diferencial ao longo de caminhos no plano P!-!V.

Passo 2

(a) “Qual é o diferencial total de energia dE?”
A gente parte de
E(P,V)=32,P,V
Para achar o diferencial total usa-se a regra de produto (teoria de diferencial total):
dE = partial Epartial P,dP + partial Epartial V,dV
Aqui
partial Epartial P=32,V, partial Epartial V=32,P
Logo
boxeddE = 32,V,dP ;+; 32,P,dV

Passo 3

(b) “Por que, sem usar Euler, dE é exato?”
Exato significa que existe uma função E(P,V) cuja diferencial é exatamente esse dE.
– Teoria: energia interna é função de estado, depende só de P e V, não do caminho.
– Conclusão: como a gente derivou direto de E(P,V)=tfrac32PV, dE é total e, portanto, exato.

Passo 4

(c) “Mostre com o critério de Euler que dE é exato.”
Para
dE = M(P,V),dP + N(P,V),dV,
o teste é verificar
partial Mpartial V stackrel?= partial Npartial P
Aqui M(P,V)=tfrac32V e N(P,V)=tfrac32P.
partial Mpartial V=32, partial Npartial P=32
Como os dois são iguais, concluímos que dE é exato pelo critério de Euler.

Passo 5

(d) “Integre dE em dois caminhos e veja que dá o mesmo resultado.”
Forma dE = tfrac32V,dP + tfrac32P,dV.
Caminho 1:
(P1,V1)→(P1,V2)
– aqui dP=0, só tem tfrac32P1,dV.
integralV1^V2tfrac32P1,dV=tfrac32P1(V2-V1)
(P1,V2)→(P2,V2)
– aqui dV=0, só tem tfrac32V2,dP.
integralP1^P2tfrac32V2,dP=tfrac32V2(P2-P1)
Somando:
tfrac32[P1(V2-V1)+V2(P2-P1)]=tfrac32(P2V2-P1V1)
Caminho 2:
(P1,V1)→(P2,V1)
– dV=0: integral tfrac32V1,dP=tfrac32V1(P2-P1)
(P2,V1)→(P2,V2)
– dP=0: integral tfrac32P2,dV=tfrac32P2(V2-V1)
Somando dá de novo
tfrac32(P2V2-P1V1)
Ou seja, o valor não depende do caminho – é diferencial exato.

Passo 6

(e) “Sem usar Euler, de<a L/P é exata ou inexata?”
Na termodinâmica o trabalho elemental é de<a L = P,dV. Então
de<a LP = P,dVP = dV
Mas dV é o diferencial total da função de estado V(P,V)=V. Logo de<a L/P é um diferencial exato (porque é exatamente dV).

Resposta

a) dE = tfrac32,V,dP + tfrac32,P,dV
b) É exato pois vem do total de E(P,V)=tfrac32PV, e energia interna é função de estado.
c) Pelo critério de Euler, partial(tfrac32V)/partial V=tfrac32=partial(tfrac32P)/partial P, logo exato.
d) Integrando em (P1,V1)→(P1,V2)→(P2,V2) ou em (P1,V1)→(P2,V1)→(P2,V2) dá sempre tfrac32(P2V2-P1V1).
e) de<a L/P = dV, que é exato pois é o diferencial da função V.

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