(20 pontos) A função de onda de uma partícula quântica de massa m é
psi(x)=A cos (k x)+B sen(k x)
onde A, B e k são constantes.
(a) (10 pontos) Supondo que a partícula seja livre, ou seja, V(x)=0, demonstre qu solução da equação de Schrodinger independente do tempo.
(b) (10 pontos) Determine a energia E correspondente à partícula. Em seguida, esbo energía E(k) como função do número de onda k. Indique se a função é linear ou comportamento da energia para valores positivos e negativos de k.

Passo 1

O enunciado nos dá a fun\c{c}~ao de onda de uma part’icula livre em uma dimens~ao
psi(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)
com V(x)=0. O conte’udo 'e a equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo para part’icula livre, que vale
-hbar^22m,d^2psidx^2=E,psi
Vamos verificar que psi(x) satisfaz essa equa\c{c}~ao e, em seguida, identificar E e discutir E(k).

Passo 2

Calculamos a segunda derivada de psi(x). Usando
ddxcos(kx)=-ksin(kx), ddxsin(kx)=kcos(kx),
vem
psi'(x)=-A,ksin(kx)+B,kcos(kx),
psi''(x)=-A,k^2cos(kx)-B,k^2sin(kx)=-k^2l[Acos(kx)+Bsin(kx)r]=-k^2psi(x)

Passo 3

Substituindo psi''(x)=-k^2psi(x) na equa\c{c}~ao de Schr"odinger:
-hbar^22m,psi''(x) =-hbar^22m(-k^2psi) =hbar^2k^22m,psi =E,psi
Logo a energia associada 'e
E=hbar^2k^22m

Passo 4

A função E(k)=dfrachbar^22m,k^2 é uma parábola em k, simétrica em k=0.
  • Não é linear, mas cresce quadraticamente com lvert krvert.
  • Para k>0 e k<0, E assume o mesmo valor (paridade par).
    O esboço de E(k) versus k é uma curva em “U” com vértice em (0,0).

Resposta

(a) A função psi(x)=Acos(kx)+Bsin(kx) satisfaz
-hbar^22m,d^2psidx^2=Epsi
com psi''=-k^2psi.
(b) A energia é
E=hbar^2k^22m,
e o gráfico E(k) é uma parábola simétrica em k=0, crescendo quadraticamente, não linear.

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