( 25 pontos) A função de onda de uma partícula quântica é dada por psi(x)=A x ent x=1,00 e psi(x)=0 em outros pontos. Determine:
(a) ( 5 pontos) O valor da constante de normalização A;
(b) (5 pontos) A probabilidade de que a partícula seja encontrada entre x=0,300 e x=
(c) ( 5 pontos) O valor esperado da posição da partícula.
(d) (10 pontos) A incerteza na posição da partícula, De<a x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda de uma partícula em uma dimensão
psi(x)= A,x, & 0<= x<=1, 0, & caso contrário á
Pede-se (a) a constante de normalização A, (b) a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0,300 e x=1, (c) o valor esperado da posição lang<= xrang<= e (d) a incerteza De<a x. Para resolver vamos usar:
– Condição de normalização integral-infty^infty|psi(x)|^2dx=1.
– Definição de probabilidade em QM P(a,b)=integrala^b|psi(x)|^2dx.
– Definição de valor esperado lang<= x^nrang<==integral x^n|psi(x)|^2dx.
– Incerteza De<a x=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2.

Passo 2

Normalização:
1=integral-infty^infty|psi(x)|^2dx =integral0^1A^2x^2,dx =A^2l[x^33r]0^1 =A^213
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A^2=!3 Longrightarrow A=raiz3(escolhemos o sinal positivo)

Passo 3

Probabilidade entre x=0,300 e x=1:
P(0,300<= x<=1) =integral0,300^1|psi(x)|^2dx =A^2integral0,300^1x^2dx =3l[x^33r]0,300^1 =1-(0,300)^3 =1-0,027 =0,973

Passo 4

Valor esperado da posição:
lang<= xrang<= =integral0^1x,|psi(x)|^2dx =A^2integral0^1x^3dx =3l[x^44r]0^1 =34 =0,75

Passo 5

Incerteza De<a x: primeiro calculamos lang<= x^2rang<=
lang<= x^2rang<= =integral0^1x^2|psi(x)|^2dx =A^2integral0^1x^4dx =3l[x^55r]0^1 =35 =0,60
A variância é
sigma^2 =lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =0,60-(0,75)^2 =0,60-0,5625 =0,0375,
portanto
De<a x =raiz0,0375 approx0,194

Resposta

(a) A=raiz3.
(b) P(0,300<= x<=1)=0,973.
(c) lang<= xrang<==0,75.
(d) De<a xapprox0,194.

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