012 Uma moeda é lançada
vezes. Seja
a probabilidade de que duas caras não apareçam consecutivamente.
(a) Calcule
e
.
(b) Prove que
para cada
.
(c) Prove que
, onde
é o
-ésimo termo da sequência de Fibonacci.
(a) Calcule
(b) Prove que
(c) Prove que
Passo 1
O enunciado trata do experimento de lançar uma moeda justa
vezes e considera a probabilidade
de que não ocorram duas caras consecutivas. Para resolver, vamos usar contagem de sequências binárias sem o padrão “cara-cara”, montar a relação de recorrência por análise de casos e reconhecer que essa recorrência é a dos números de Fibonacci normalizados por
.
Passo 2
Para calcular diretamente
, contamos quantas sequências de comprimentos
em
(C = cara, K = coroa) não têm “CC”. O total de sequências de tamanho
é
.
- Para
: todas as sequências são válidas, logo
- Para
: entre as sequências só “CC” é proibida, então há válidas,
- Para
: há totais e as proibidas são “CC*” e “*CC”, ao todo 3, restando ,
- Para
: sabe-se (ou conta-se) que há sequências sem “CC” dentre ,
Passo 3
Queremos mostrar que, para
,
Analisamos o primeiro lançamento:
- Se sai coroa (probabilidade
), não restringe o segundo, e nos resta evitar “CC” nos últimos; isso contribui com . - Se sai cara (probabilidade
), então para não ter “CC” o segundo deve ser coroa (probabilidade ), restando evitar “CC” nos últimos; isso dá .
Somando os casos obtemos a relação requerida.
Passo 4
Para resolver a recorrência
note que se definirmos
, a relação vira
com
,
. Essa é exatamente a recorrência dos números de Fibonacci deslocados, já que
e
. Logo
Resposta
(a)
(b) Foi mostrado que
(b) Foi mostrado que
(c) Demonstrou-se que
onde
é o
-ésimo número de Fibonacci.