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Suponha agora que os 10 anéis sejam todos distintos. De quantas maneiras Maria pode distribuí-los em seus dedos? Aqui também, suponha que é possível colocar todos os anéis em qualquer um dos dedos e que a ordem dos anéis nos dedos é relevante.

Passo 1

O enunciado diz que temos 10 anéis todos distintos e 5 dedos distintos (polegar, indicador, médio, anelar e mínimo). Podemos colocar qualquer número de anéis em cada dedo e a ordem dos anéis num mesmo dedo importa. O conteúdo a usar é o princípio multiplicativo combinado com permutações e composições de inteiros.

Passo 2

Uma forma de pensar é primeiro ordenar todos os anéis numa fila, o que pode ser feito de 10! maneiras. Em seguida dividimos essa fila em 5 blocos ordenados (um bloco para cada dedo), inclusive blocos vazios.

Passo 3

O número de maneiras de escolher os tamanhos (k_1,k_2,k_3,k_4,k_5) de cada bloco, com k_1+\cdots+k_5=10 e k_i\ge0, é dado por
\binom{10+5-1}{5-1} \;=\;\binom{14}{4}.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, combinamos as 10! permutações de anéis com as \binom{14}{4} formas de particionar em 5 blocos, obtendo
10! \times \binom{14}{4}.

Resposta

10! \,\binom{14}{4} \;=\;3\,632\,428\,800.

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