Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência de cada série de potências.
Considere a função
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(7-5 x)^{n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências dada. A série fornecida é
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(7-5x)^{n}}{2^{n}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma é uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n com a_n=\dfrac{(7-5x)^n}{2^n}.
  • Não foi dado nenhum ponto de expansão explícito em termos de (x-x_0)^n, mas a expressão (7-5x)^n sugere que a série pode ser vista como uma série geométrica em função de (7-5x).

Passo 2

Explicar a ideia-chave: série geométrica e critério de convergência.
  • Uma série geométrica clássica é \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}. Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Quando converge, sua soma é \dfrac{1}{1-r}.
  • No nosso caso cada termo pode ser escrito como
\frac{(7-5x)^{n}}{2^{n}}=\left(\frac{7-5x}{2}\right)^{n}.
Logo a série é exatamente uma série geométrica com razão
r=\frac{7-5x}{2}.
Portanto a condição de convergência é
\left|\frac{7-5x}{2}\right|<1.

Passo 3

Resolver a desigualdade de convergência passo a passo.
  • Começo com
\left|\frac{7-5x}{2}\right|<1.
  • Multiplico ambos os lados por 2 (positivo, logo não troca sinal):
|7-5x|<2.
  • Isso é a desigualdade composta
-2<7-5x<2.
  • Subtraio 7 de todas as partes:
-9<-5x<-5.
  • Divido por -5. Ao dividir por número negativo, inverto as desigualdades:
\frac{9}{5}>x>1.
  • Reescrevendo em ordem crescente:
1<x<\frac{9}{5}.
Logo a série converge para todos os x no intervalo \left(1,\dfrac{9}{5}\right).

Passo 4

Verificar o comportamento nos extremos do intervalo (pontos onde a desigualdade é igualitária).
  • Em x=1 temos
\frac{7-5x}{2}\Big|_{x=1}=\frac{7-5}{2}=\frac{2}{2}=1.
A série torna-se \sum_{n=0}^{\infty}1^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}1, cujos termos não tendem a zero; portanto diverge.
  • Em x=\dfrac{9}{5} temos
\frac{7-5x}{2}\Big|_{x=\tfrac{9}{5}}=\frac{7-9}{2}=\frac{-2}{2}=-1.
A série torna-se \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}. Os termos não tendem a zero (são alternadamente 1 e -1), logo a série também diverge.
  • Conclusão: ambos os extremos x=1 e x=\dfrac{9}{5} não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 5

Identificar o centro da série e calcular o raio de convergência de forma direta (relevante para “série de potências”).
  • É útil escrever a série centrada em \,x_0=\dfrac{7}{5}. Observe que
7-5x=-5\left(x-\frac{7}{5}\right).
Assim
\frac{(7-5x)^{n}}{2^{n}}=\left(-\frac{5}{2}\right)^{n}\left(x-\frac{7}{5}\right)^{n}.
  • Isso mostra que a série é uma série de potências em \left(x-\dfrac{7}{5}\right) centrada em x_0=\dfrac{7}{5}. A condição de convergência da série geométrica reescrita é
\left|-\frac{5}{2}\left(x-\frac{7}{5}\right)\right|<1,
ou seja
\frac{5}{2}\left|x-\frac{7}{5}\right|<1.
  • Isolando \left|x-\dfrac{7}{5}\right|,
\left|x-\frac{7}{5}\right|<\frac{2}{5}.
Portanto o raio de convergência é
R=\frac{2}{5}.

Passo 6

Conectar as duas descrições (intervalo e raio) e interpretação final.
  • O intervalo centrado em x_0=\dfrac{7}{5} com raio R=\dfrac{2}{5} é
\left(\frac{7}{5}-\frac{2}{5},\;\frac{7}{5}+\frac{2}{5}\right)=\left(1,\;\frac{9}{5}\right),
que coincide com o intervalo encontrado resolvendo \left|\dfrac{7-5x}{2}\right|<1.
  • Como verificado, os pontos finais não pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

Intervalo de convergência: \left(1,\dfrac{9}{5}\right)
Raio de convergência: R=\dfrac{2}{5}

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