Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência de cada série de potências. \quad \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \cdot 2 n} x^{2 n+1}.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
Para encontrar o raio de convergência uso o teste da razão aplicado aos termos não nulos sucessivos (isto é, aos termos correspondentes a n e n+1). Defina os termos positivos (módulo) relevantes
em particular u_n\to0. (Bastaria para o teste de Leibniz saber que u_n\to0 e que u_n é decrescente.)
Pelo teste de Leibniz, a série em x=1 converge. Não converge absolutamente porque \sum u_n se comporta como \sum 1/\sqrt{n}, que diverge (série p com p=\tfrac12). Conclusão: convergência condicional em x=1.
É novamente uma série alternada cujos termos em módulo são exatamente u_n do passo anterior. Como já mostramos que u_n é decrescente e u_n\to0, o teste de Leibniz garante convergência. Novamente a convergência não é absoluta pelo mesmo argumento assintótico. Portanto convergência condicional em x=-1.
Resposta
Intervalo de convergência: [-1,1] (convergência absoluta para |x|<1, condicional em x=\pm1).
Raio de convergência: R=1.