Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência de cada série de potências.
\quad \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \cdot 2 n} x^{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\,x^{2n+1}.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • A série é uma série de potências em x, com termos apenas nas potências ímpares x^{2n+1}.
  • O coeficiente (com sinal) do termo x^{2n+1} é
(-1)^{n}\,\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.
O que se pede:
  • O raio de convergência R dessa série de potências.
  • O intervalo de convergência (ou seja, para que x\in\mathbb{R} a série converge), explicitando o comportamento nos extremos.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar os produtos do coeficiente para ter uma forma mais manejável.
Separando pares e ímpares no fatorial, vale a identidade
(2n)! = \big(2\cdot4\cdot6\cdots(2n)\big)\big(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\big).
Daí
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.
Mas 2\cdot4\cdot\cdots(2n)=2^{n}n!. Substituindo obtemos
1\cdot3\cdot\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.
Então o quociente do enunciado fica
\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)} =\frac{(2n)!}{2^{n}n!}\cdot\frac{1}{2^{n}n!} =\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}.
Reconhecendo a binomial central:
\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}=\binom{2n}{n}, \qquad\text{portanto}\qquad \left|\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}\right| =\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
Assim a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}\,x^{2n+1}.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência uso o teste da razão aplicado aos termos não nulos sucessivos (isto é, aos termos correspondentes a n e n+1). Defina os termos positivos (módulo) relevantes
a_n=\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}\,|x|^{2n+1}.
Calculo a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{4^{\,n+1}}\frac{4^{n}}{\binom{2n}{n}}\;|x|^{2} =\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}}\cdot\frac{1}{4}\;|x|^{2}.

Passo 4

Simplifico a razão das binomiais explicitamente:
\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2}\;|x|^{2}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Note que
\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{4n^2+6n+2}{4n^2+8n+4}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=|x|^{2}.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente (no interior) quando esse limite é <1, ou seja quando
|x|^{2}<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Assim o raio de convergência é
R=1.

Passo 5

Conclusão parcial: para |x|<1 a série converge absolutamente; para |x|>1 diverge (pela razão). Resta analisar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 6

Análise em x=1.
Substituindo x=1 temos a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
Examine os termos em módulo
u_n=\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
Mostro que (u_n) é decrescente e tende a 0, para poder aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada).
Primeiro a razão
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2} <1
pois o denominador menos o numerador é
4(n+1)^2-(2n+2)(2n+1)=2n+2>0,
logo a sequência u_n é estritamente decrescente para todo n\ge1.
Além disso, usando a estimativa assintótica clássica para o binomial central (ou usando Fórmula de Stirling rapidamente) tem-se
u_n=\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\quad(n\to\infty),
em particular u_n\to0. (Bastaria para o teste de Leibniz saber que u_n\to0 e que u_n é decrescente.)
Pelo teste de Leibniz, a série em x=1 converge. Não converge absolutamente porque \sum u_n se comporta como \sum 1/\sqrt{n}, que diverge (série p com p=\tfrac12). Conclusão: convergência condicional em x=1.

Passo 7

Análise em x=-1.
Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}(-1)^{2n+1} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}(-1) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
É novamente uma série alternada cujos termos em módulo são exatamente u_n do passo anterior. Como já mostramos que u_n é decrescente e u_n\to0, o teste de Leibniz garante convergência. Novamente a convergência não é absoluta pelo mesmo argumento assintótico. Portanto convergência condicional em x=-1.

Resposta

Intervalo de convergência: [-1,1] (convergência absoluta para |x|<1, condicional em x=\pm1).
Raio de convergência: R=1.

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