02: Calcular a integral por frações parciais
\int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+3 e^{x}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}\,dx
Aplicaremos a substituição t=e^{x} para reduzir a integral a uma racional em t e em seguida usaremos frações parciais.

Passo 2

Seja t=e^{x}. Então
\,dt=e^{x}dx e dx=\frac{dt}{t}.
Além disso, e^{2x}=t^{2} e
e^{2x}\,dx = t^{2}\,\frac{dt}{t} = t\,dt.
Logo, a integral vira
\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^{x}+2}\,dx = \int \frac{t}{t^{2}+3t+2}\,dt.

Passo 3

Fatorando o denominador,
t^{2}+3t+2 = (t+1)(t+2).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{t}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}.
Isso gera o sistema
A + B = 1,
2A + B = 0,
cuja solução é A=-1 e B=2. Assim,
\frac{t}{(t+1)(t+2)} = -\frac{1}{t+1} + \frac{2}{t+2}.

Passo 4

Integramos em t:
\int \frac{t}{t^{2}+3t+2}\,dt = \int \Bigl(-\frac{1}{t+1} + \frac{2}{t+2}\Bigr)\,dt = -\ln\lvert t+1\rvert + 2\ln\lvert t+2\rvert + C.
Substituindo t=e^{x}, a antiderivada final é
-\ln\bigl(e^{x}+1\bigr) + 2\ln\bigl(e^{x}+2\bigr) + C.

Resposta

-\ln\bigl(e^{x}+1\bigr) + 2\ln\bigl(e^{x}+2\bigr) + C

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