03: Calcular a integral por substituição trigonométrica
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}+4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x^{2}+4}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Como vemos uma expressão do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}} com a=2, a ideia é usar
x=2\tan\theta,
pois assim \sqrt{x^{2}+4} vira algo em \operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x=2\tan\theta, \quad dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}+4} = \sqrt{4\tan^{2}\theta+4} =2\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x^{2}+4}}\,dx =\int \frac{1}{(2\tan\theta)^{2}\,\bigl(2\operatorname{sec}\theta\bigr)}\;(2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta).
Isso simplifica para
\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{4\tan^{2}\theta\;2\operatorname{sec}\theta}\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{4\,\tan^{2}\theta}\,d\theta =\frac{1}{4}\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Como \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}=\frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}, a integral vira
\frac{1}{4}\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}, fazemos u=\sin\theta, logo du=\cos\theta\,d\theta. Assim
\frac{1}{4}\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta =\frac{1}{4}\int \frac{du}{u^{2}} =-\frac{1}{4u}+C =-\frac{1}{4\sin\theta}+C.

Passo 5

Volta-se a variável x. De x=2\tan\theta temos \tan\theta=\tfrac{x}{2} e
\sin\theta =\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta} =\frac{x/2}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}} =\frac{x/2}{\sqrt{1+x^{2}/4}} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Logo
-\frac{1}{4\sin\theta} =-\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x} =-\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4\,x}+C.

Resposta

\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x^{2}+4}}\,dx =-\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4\,x}+C.

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