Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R} contínuas. Prove que se X é aberto então o conjunto A=\{x \in X ; f(x) \neq g(x)\} é aberto e se X é fechado então o conjunto F=\{x \in X ; f(x)=g(x)\} é fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre os conjuntos
A = \{x\in X: f(x)\neq g(x)\} \quad\text{e}\quad F = \{x\in X: f(x)=g(x)\},
sabendo que f,g\colon X\to\mathbb{R} são contínuas. O conteúdo usado será noções básicas de espaço métrico (ou topológico): soma e diferença de funções contínuas, pré-imagem de conjuntos abertos/fechados e propriedades de subespaços abertos e fechados.

Passo 2

Definimos a função
h\colon X\to\mathbb{R}, \qquad h(x)=f(x)-g(x).
Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas, segue que h é contínua em X.

Passo 3

Reescrevemos
A=\{x\in X: h(x)\neq0\}=h^{-1}\bigl(\mathbb{R}\setminus\{0\}\bigr), \qquad F=\{x\in X: h(x)=0\}=h^{-1}\bigl(\{0\}\bigr).
No espaço \mathbb{R}, o conjunto \mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty) é aberto e o singleton \{0\} é fechado. Pela continuidade de h:
  • A=h^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{0\}) é aberto em X.
  • F=h^{-1}(\{0\}) é fechado em X.

Passo 4

Agora relacionamos a abertura/fechamento em X com a abertura/fechamento no espaço ambiente (supondo X\subseteq\mathbb{R}^n, por exemplo):
  • Se X é aberto no ambiente, então todo conjunto que é aberto em X (na topologia subespaço) também é aberto no ambiente. Logo A é aberto no ambiente.
  • Se X é fechado no ambiente, então todo conjunto que é fechado em X (na topologia subespaço) também é fechado no ambiente. Logo F é fechado no ambiente.

Resposta

Quando X é aberto, A=\{x:f(x)\neq g(x)\} é aberto.
Quando X é fechado, F=\{x:f(x)=g(x)\} é fechado.

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