Sejam
contínuas. Prove que se
é aberto então o conjunto
é aberto e se
é fechado então o conjunto
é fechado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre os conjuntos
sabendo que
são contínuas. O conteúdo usado será noções básicas de espaço métrico (ou topológico): soma e diferença de funções contínuas, pré-imagem de conjuntos abertos/fechados e propriedades de subespaços abertos e fechados.
Passo 2
Definimos a função
Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas, segue que
é contínua em
.
Passo 3
Reescrevemos
No espaço
, o conjunto
é aberto e o singleton
é fechado. Pela continuidade de
:
-
é aberto em . -
é fechado em .
Passo 4
Agora relacionamos a abertura/fechamento em
com a abertura/fechamento no espaço ambiente (supondo
, por exemplo):
- Se
é aberto no ambiente, então todo conjunto que é aberto em (na topologia subespaço) também é aberto no ambiente. Logo é aberto no ambiente. - Se
é fechado no ambiente, então todo conjunto que é fechado em (na topologia subespaço) também é fechado no ambiente. Logo é fechado no ambiente.
Resposta
Quando
é aberto,
é aberto.
Quando é fechado,
é fechado.
Quando