Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R} contínuas no ponto a \in X. Prove que são contínuas no ponto a as funções \varphi, \psi: X \rightarrow \mathbb{R}, definidas por \varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\} e \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\} para todo x \in X.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções f,g\colon X\to\mathbb{R} contínuas no ponto a\in X e define
Queremos mostrar que \varphi e \psi também são contínuas em a. Vamos usar a expressão dessas funções em termos de soma, diferença e valor absoluto, e depois aplicar que soma, diferença, composição com valor absoluto e combinações lineares preservam continuidade.
Passo 2
Lembrando a fórmula algébrica para máximo e mínimo de dois números, para todo x\in X vale