Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R} contínuas no ponto a \in X. Prove que são contínuas no ponto a as funções \varphi, \psi: X \rightarrow \mathbb{R}, definidas por \varphi(x)= \max \{f(x), g(x)\} e \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\} para todo x \in X.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções f,g\colon X\to\mathbb{R} contínuas no ponto a\in X e define
\varphi(x)=\max\{f(x),g(x)\},\quad \psi(x)=\min\{f(x),g(x)\}.
Queremos mostrar que \varphi e \psi também são contínuas em a. Vamos usar a expressão dessas funções em termos de soma, diferença e valor absoluto, e depois aplicar que soma, diferença, composição com valor absoluto e combinações lineares preservam continuidade.

Passo 2

Lembrando a fórmula algébrica para máximo e mínimo de dois números, para todo x\in X vale
\varphi(x) =\max\{f(x),g(x)\} =\frac{f(x)+g(x)}{2}+\frac{\bigl|f(x)-g(x)\bigr|}{2},
\psi(x) =\min\{f(x),g(x)\} =\frac{f(x)+g(x)}{2}-\frac{\bigl|f(x)-g(x)\bigr|}{2}.

Passo 3

Como f e g são contínuas em a, as funções
f+g,\quad f-g
são contínuas em a (soma e diferença de funções contínuas continuam contínuas).

Passo 4

A função valor absoluto \abs{\;\cdot\;}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em todo ponto. Logo, a composição
x\;\mapsto\;\bigl|f(x)-g(x)\bigr|
é contínua em a, pois f-g é contínua em a.

Passo 5

Agora, \varphi e \psi são combinações lineares de funções contínuas em a:
\varphi(x) =\frac{1}{2}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) +\frac{1}{2}\bigl|f(x)-g(x)\bigr|,
\psi(x) =\frac{1}{2}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) -\frac{1}{2}\bigl|f(x)-g(x)\bigr|.
Como constantes e soma (ou diferença) de funções contínuas continuam contínuas, concluímos que \varphi e \psi são contínuas em a.

Resposta

As funções \varphi(x)=\max\{f(x),g(x)\} e \psi(x)=\min\{f(x),g(x)\} são contínuas no ponto a.

Exercícios relacionados