3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto x=1
f(x)=4(x^3-x)^3 / 2(x-1)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função f(x) = 4(x^3 - x)^32(x - 1) e depois avaliar essa derivada no ponto x = 1 . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação importantes: a regra da potência, a regra do produto, a regra da cadeia e a regra do quociente. Você vai ver que, passo a passo, fica bem tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que f(x) é o produto de duas funções:
  • u(x) = 4(x^3 - x)^32
  • v(x) = (x - 1)
Como temos um produto, vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que a derivada de f(x) = u(x)v(x) é:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Passo 3

Vamos calcular u'(x) . Para isso, precisamos usar a Regra da Cadeia. Primeiro, identifique a parte interna:
  • g(x) = x^3 - x
    Então, u(x) = 4[g(x)]^32
A derivada de u(x) em relação a x é:
u'(x) = 4 cdot 32 (g(x))^12 cdot g'(x)
u'(x) = 6 (x^3 - x)^12 cdot (3x^2 - 1)

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = x - 1 :
v'(x) = 1

Passo 5

Vamos substituir u'(x) , u(x) , v(x) e v'(x) na fórmula da Regra do Produto:
f'(x) = 6 (x^3 - x)^12 (3x^2 - 1)(x - 1) + 4(x^3 - x)^32 cdot 1

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar (x^3 - x)^12 :
f'(x) = (x^3 - x)^12 [6(3x^2 - 1)(x - 1) + 4(x^3 - x)]

Passo 7

Vamos avaliar no ponto quando é:
Então, e . Portanto, todo o termo dentro dos colchetes se multiplica por zero, resultando em:
)

Resposta

A derivada de f(x) no ponto x = 1 é igual a 0.

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