Determine o conjunto A^prime dos pontos de acumulação de A:
A=R

Passo 1

O enunciado pede o conjunto derivado A' de
A = R,
ou seja, todos os pontos de acumulação de A. Lembrando a definição: um ponto x é de acumulação de A se, para todo raio r>0, o intervalo aberto
(x - r,,x + r)
contém algum ponto de A diferente de x.

Passo 2

Seja xinR fixo. Tome qualquer r>0. O intervalo (x - r,,x + r) é um subintervalo não trivial de R, logo contém infinitos números reais. Em particular, há sempre um ponto y em (x - r,,x + r) com yneq x. Como yinR=A, temos
l((x - r,,x + r)setminusxr)cap A neq varnothing
Isso mostra que x é ponto de acumulação de A.

Passo 3

Como escolhemos x de forma arbitrária em R e demonstramos que vale a condição de acumulação, concluímos que todo ponto de R pertence a A'. Portanto,
A' = R

Resposta

A' = R

Exercícios relacionados