Determine o conjunto
dos pontos de acumulação de
:
Passo 1
O enunciado pede o conjunto derivado
de
ou seja, todos os pontos de acumulação de
. Lembrando a definição: um ponto
é de acumulação de
se, para todo raio
, o intervalo aberto
contém algum ponto de
diferente de
.
Passo 2
Seja
fixo. Tome qualquer
. O intervalo
é um subintervalo não trivial de
, logo contém infinitos números reais. Em particular, há sempre um ponto
em
com
. Como
, temos
Isso mostra que
é ponto de acumulação de
.
Passo 3
Como escolhemos
de forma arbitrária em
e demonstramos que vale a condição de acumulação, concluímos que todo ponto de
pertence a
. Portanto,