3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
e depois avaliar essa derivada no ponto
. Para isso, vamos usar as regras de derivação como a regra da potência, do produto, da cadeia e do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que serão derivadas. A função
é o produto de duas expressões:
e
Para derivar
, usaremos a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos começar encontrando as derivadas de
e
separadamente.
Primeiro, derivando
:
A derivada de
é 1.
Para derivar
, podemos reescrever como
e usar a Regra da Potência, que diz que a derivada de
é
.
Então:
Portanto, a derivada de
é:
Agora, derivando
:
A derivada de
é simplesmente 2.
Então,
.
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo as expressões que encontramos:
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 5
Agora, somamos os dois resultados:
Vamos somar os termos semelhantes:
Termos com
:
Termos com
:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Substituindo
na expressão da derivada:
Calculando:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.