3.02 (1, Calcule as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras da potência, do produto, cadeia e do quociente. Avalie o ponto x=1
f(x)=(x+13 x^2)(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = (x + 13x^2)(2x) e depois avaliar essa derivada no ponto x = 1 . Para isso, vamos usar as regras de derivação como a regra da potência, do produto, da cadeia e do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que serão derivadas. A função f(x) é o produto de duas expressões:
u(x) = x + 13x^2
e
v(x) = 2x
Para derivar f(x) = u(x) cdot v(x) , usaremos a Regra do Produto, que diz que a derivada de u(x) cdot v(x) é u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) .

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas de u(x) e v(x) separadamente.
Primeiro, derivando u(x) = x + 13x^2 :
A derivada de x é 1.
Para derivar 13x^2 , podemos reescrever como 13x^-2 e usar a Regra da Potência, que diz que a derivada de x^n é n x^n-1 .
Então:
ddx ( 13x^-2 ) = 13 cdot (-2)x^-3 = -23x^3
Portanto, a derivada de u(x) é:
u'(x) = 1 - 23x^3
Agora, derivando v(x) = 2x :
A derivada de 2x é simplesmente 2.
Então, v'(x) = 2 .

Passo 4

Agora que temos u'(x) e v'(x) , vamos aplicar a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo as expressões que encontramos:
f'(x) = (1 - 23x^3) cdot (2x) + (x + 13x^2) cdot 2
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
(1 - 23x^3) cdot 2x = 2x - 43x^2
Segundo termo:
(x + 13x^2) cdot 2 = 2x + 23x^2

Passo 5

Agora, somamos os dois resultados:
f'(x) = (2x - 43x^2) + (2x + 23x^2)
Vamos somar os termos semelhantes:
Termos com x :
2x + 2x = 4x
Termos com 1x^2 :
-43x^2 + 23x^2 = -23x^2
Então, a derivada simplificada é:
f'(x) = 4x - 23x^2

Passo 6

Agora, vamos avaliar f'(x) no ponto x = 1 :
Substituindo x = 1 na expressão da derivada:
f'(1) = 4(1) - 23(1)^2 = 4 - 23
Calculando:
4 - 23 = 123 - 23 = 103

Resposta

A derivada de f(x) no ponto x = 1 é 103 .

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