Verifique que para qualquer p in R, vale:
lim x p x=p

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função identidade em R, dada por f(x)=x, satisfaz
limxto px = p
para todo pinR. O conteúdo aqui é a definição de limite de função real usando o critério varepsilon- de<a.

Passo 2

Relembremos a definição de limite: dizemos que
limxto pf(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-p|<de<a Longrightarrow |f(x)-L|<varepsilon

Passo 3

No nosso caso f(x)=x e L=p. Logo a condição a provar fica
0<|x-p|<de<a Longrightarrow |x-p|<varepsilon
Basta então escolher de<a de modo a controlar exatamente o mesmo valor de varepsilon.

Passo 4

Seja arbitrário varepsilon>0. Definimos
de<a = varepsilon
Então, sempre que 0<|x-p|<de<a, temos imediatamente
|x-p|<de<a = varepsilon,
o que mostra que a condição da definição de limite é satisfeita.

Resposta

Como para todo varepsilon>0 podemos escolher de<a=varepsilon e garantir |x-p|<varepsilon sempre que 0<|x-p|<de<a, concluímos que
limxto px = p

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