03 ( 1,0 ponto por item) Cale as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras do logaritmo, da exponencial e da cadeia. Avalie o ponto x=1.
f(x)=4 e^(x^2+1)-x log 2 x^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função f(x) = 4 e^x^2+1 - x log2 x^2 e depois avaliar esse valor em x = 1 . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais, logarítmicas e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
  1. 4 e^x^2+1
  2. -x log2 x^2
Vamos derivar cada uma dessas partes individualmente.

Passo 3

Vamos começar derivando 4 e^x^2+1 .
A derivada de uma função exponencial e^u(x) é dada por e^u(x) cdot u'(x) . Aqui, u(x) = x^2 + 1 , então:
u'(x) = 2x
Assim, a derivada de 4 e^x^2+1 é:
4 cdot e^x^2+1 cdot 2x = 8x e^x^2+1

Passo 4

Agora, vamos derivar -x log2 x^2 .
Aqui, temos um produto de duas funções: -x e log2 x^2 . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que:
ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v'
Onde:
  • u = -x então u' = -1
  • v = log2 x^2
Antes de derivar v , vamos simplificar:
log2 x^2 = log2 + logx^2 = log2 + 2 logx
Agora, derivando v :
v' = ddx (log2 + 2 logx) = 0 + 2 cdot 1x = 2x
Aplicando a regra do produto:
ddx[-x log2 x^2] = (-1) cdot log2 x^2 + (-x) cdot 2x = -log2 x^2 - 2

Passo 5

Agora, juntando as derivadas das duas partes que calculamos:
f'(x) = 8x e^x^2+1 - log2 x^2 - 2

Passo 6

Por fim, vamos avaliar f'(x) em x = 1 :
f'(1) = 8 cdot 1 cdot e^1^2+1 - log2 cdot 1^2 - 2 = 8 e^2 - log2 - 2

Resposta

A derivada de f(x) em x = 1 é 8 e^2 - log2 - 2 .

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