03 ( 1,0 ponto por item) Cale as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras do logaritmo, da exponencial e da cadeia. Avalie o ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função
e depois avaliar esse valor em
. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais, logarítmicas e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
Vamos derivar cada uma dessas partes individualmente.
Passo 3
Vamos começar derivando
.
A derivada de uma função exponencial
é dada por
. Aqui,
, então:
Assim, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar
.
Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que:
Onde:
-
então -
Antes de derivar
, vamos simplificar:
Agora, derivando
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora, juntando as derivadas das duas partes que calculamos:
Passo 6
Por fim, vamos avaliar
em
:
Resposta
A derivada de
em
é
.