03 ( 1,0 ponto por item) Cale as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras do logaritmo, da exponencial e da cadeia. Avalie o ponto x=1.
f(x)=2^(x^2+3)+ln e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A questão pede para calcular a derivada da função f(x) = 2^x^2 + 3 + ln e^2x usando regras de logaritmo, exponencial e a regra da cadeia. Depois, a gente precisa avaliar essa derivada no ponto x = 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função f(x) = 2^x^2 + 3 . Para derivar uma função exponencial com base diferente de e , usamos a regra:
ddx a^g(x) = a^g(x) cdot ln(a) cdot g'(x)
Aqui, a = 2 e g(x) = x^2 + 3 .

Passo 3

Calculando a derivada de g(x) = x^2 + 3 :
g'(x) = 2x

Passo 4

Agora, aplicando a regra da exponencial:
ddx 2^x^2 + 3 = 2^x^2 + 3 cdot ln(2) cdot 2x = 2x ln(2) cdot 2^x^2 + 3

Passo 5

Vamos derivar a segunda parte da função: ln e^2x . Sabemos que ln(e^u) = u , então:
ln(e^2x) = 2x

Passo 6

Agora, basta derivar 2x :
ddx 2x = 2

Passo 7

Juntando tudo, a derivada de f(x) é:
f'(x) = 2x ln(2) cdot 2^x^2 + 3 + 2

Passo 8

Por fim, vamos avaliar f'(x) no ponto x = 1 :
f'(1) = 2(1) ln(2) cdot 2^1^2 + 3 + 2 = 2 ln(2) cdot 2^4 + 2 = 2 ln(2) cdot 16 + 2 = 32 ln(2) + 2

Resposta

A derivada de f(x) avaliada em x = 1 é f'(1) = 32 ln(2) + 2 .

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