08 - Calcule \int \operatorname{tg}^{4}\left(e^{x}\right) \cdot e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{tg}^{4}\!\left(e^{x}\right)\cdot e^{x}\,dx.
Informações claras que temos:
  • A função integranda é \operatorname{tg}^{4}\!\left(e^{x}\right)\cdot e^{x}.
  • O elemento diferencial é dx.
  • Não há limites, então queremos uma antiderivada (mais constante de integração).
    O objetivo é encontrar uma primitiva explícita dessa função.

Passo 2

Estratégia: notar que aparece e^{x} multiplicando dx. Isso sugere a substituição
u = e^{x},
porque então
du = e^{x}\,dx.
Explicando didaticamente: a substituição u=e^{x} troca a variável x por u. Sempre que a diferencial du aparece diretamente na integral (aqui du=e^{x}dx), a troca costuma simplificar bastante. É uma aplicação direta da regra da cadeia para integrais (substituição).

Passo 3

Fazendo a substituição u=e^{x} (peguei a expressão e^{x}\,dx do integrando),
\int \operatorname{tg}^{4}\!\left(e^{x}\right)\cdot e^{x}\,dx =\int \operatorname{tg}^{4}\!(u)\,du.
Agora o problema virou calcular \int \tan^{4}u\,du. Vou explicar como integrar potências de \tan: usamos identidades trigonométricas para reduzir a potência a funções cujo primitivo conhecemos (por exemplo \operatorname{sec}^{2}u tem primitiva \tan u).

Passo 4

Usar a identidade
\tan^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u-1.
Logo
\tan^{4}u=(\tan^{2}u)^{2}=(\operatorname{sec}^{2}u-1)^{2}=\operatorname{sec}^{4}u-2\operatorname{sec}^{2}u+1.
Isso é útil porque \operatorname{sec}^{2}u é a derivada de \tan u ( \frac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u), o que facilita integrações por substituição em termos de \tan u.

Passo 5

Separar a integral em termos mais simples:
\int \tan^{4}u\,du=\int\big(\operatorname{sec}^{4}u-2\operatorname{sec}^{2}u+1\big)\,du =\int \operatorname{sec}^{4}u\,du-2\int \operatorname{sec}^{2}u\,du+\int 1\,du.
Sabemos imediatamente:
\int \operatorname{sec}^{2}u\,du=\tan u,\qquad \int 1\,du=u.
Falta então \int \operatorname{sec}^{4}u\,du.

Passo 6

Calcular \int \operatorname{sec}^{4}u\,du. Reescrevo \operatorname{sec}^{4}u como \operatorname{sec}^{2}u\cdot\operatorname{sec}^{2}u e uso \operatorname{sec}^{2}u=1+\tan^{2}u:
\operatorname{sec}^{4}u=\operatorname{sec}^{2}u(1+\tan^{2}u)=\operatorname{sec}^{2}u+\tan^{2}u\operatorname{sec}^{2}u.
Assim
\int \operatorname{sec}^{4}u\,du=\int \operatorname{sec}^{2}u\,du+\int \tan^{2}u\,\operatorname{sec}^{2}u\,du.
Agora faça a substituição t=\tan u. Então dt=\operatorname{sec}^{2}u\,du. Com isso
\int \tan^{2}u\,\operatorname{sec}^{2}u\,du=\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}=\frac{\tan^{3}u}{3}.
E já tinha \int \operatorname{sec}^{2}u\,du=\tan u. Portanto
\int \operatorname{sec}^{4}u\,du=\tan u+\frac{\tan^{3}u}{3}.

Passo 7

Voltar à expressão de \int \tan^{4}u\,du:
\int \tan^{4}u\,du=\Big(\tan u+\frac{\tan^{3}u}{3}\Big)-2\tan u+u+C.
Agrupando termos semelhantes:
\int \tan^{4}u\,du=\frac{\tan^{3}u}{3}-\tan u+u+C.

Passo 8

Substituir u=e^{x} de volta (porque fizemos u=e^{x} no início):
\int \operatorname{tg}^{4}\!\left(e^{x}\right)\cdot e^{x}\,dx =\frac{1}{3}\tan^{3}\!\big(e^{x}\big)-\tan\!\big(e^{x}\big)+e^{x}+C.
Verificação rápida (opcional, mas instrutiva): derivando essa expressão pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia obtém-se de volta e^{x}\tan^{4}(e^{x}), confirmando que é realmente uma primitiva.

Resposta

\dfrac{1}{3}\tan^{3}\!\big(e^{x}\big)-\tan\!\big(e^{x}\big)+e^{x}+C

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