08 - Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações claras que temos:
- A função integranda é
. - O elemento diferencial é
. - Não há limites, então queremos uma antiderivada (mais constante de integração).
O objetivo é encontrar uma primitiva explícita dessa função.
Passo 2
Estratégia: notar que aparece
multiplicando
. Isso sugere a substituição
porque então
Explicando didaticamente: a substituição
troca a variável
por
. Sempre que a diferencial
aparece diretamente na integral (aqui
), a troca costuma simplificar bastante. É uma aplicação direta da regra da cadeia para integrais (substituição).
Passo 3
Fazendo a substituição
(peguei a expressão
do integrando),
Agora o problema virou calcular
. Vou explicar como integrar potências de
: usamos identidades trigonométricas para reduzir a potência a funções cujo primitivo conhecemos (por exemplo
tem primitiva
).
Passo 4
Usar a identidade
Logo
Isso é útil porque
é a derivada de
(
), o que facilita integrações por substituição em termos de
.
Passo 5
Separar a integral em termos mais simples:
Sabemos imediatamente:
Falta então
.
Passo 6
Calcular
. Reescrevo
como
e uso
:
Assim
Agora faça a substituição
. Então
. Com isso
E já tinha
. Portanto
Passo 7
Voltar à expressão de
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Substituir
de volta (porque fizemos
no início):
Verificação rápida (opcional, mas instrutiva): derivando essa expressão pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia obtém-se de volta
, confirmando que é realmente uma primitiva.