05: Calcular a derivada de ordem 2 da função
F(x, y)=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de segunda ordem (isto é, as segundas derivadas parciais e a Hessiana) da função
F(x,y)=\tan^{-1}\!\Bigl(\frac{x+y}{1-xy}\Bigr).
O conteúdo principal é diferenciar funções compostas (regra da cadeia) e usar a fórmula de derivada de \arctan.

Passo 2

Note que pela identidade de soma de arctangentes temos, sempre que |xy|<1 e no ramo principal,
\tan\bigl(\arctan(x)+\arctan(y)\bigr) =\frac{\tan(\arctan x)+\tan(\arctan y)}{1-\tan(\arctan x)\,\tan(\arctan y)} =\frac{x+y}{1-xy}.
Logo, salvo uma constante,
F(x,y)=\arctan(x)+\arctan(y).

Passo 3

A partir de
F(x,y)=\arctan(x)+\arctan(y),
aplicamos a derivada de \arctan(t), que é 1/(1+t^2). Assim,
F_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\arctan(x) =\frac{1}{1+x^2}, \qquad F_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\arctan(y) =\frac{1}{1+y^2}.

Passo 4

Agora derivamos mais uma vez para obter as segundas derivadas parciais. Para F_x:
F_{xx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{1+x^2}\Bigr) =-\frac{2x}{(1+x^2)^2}.
Como F_x não depende de y, temos
F_{xy}(x,y)=0.

Passo 5

De modo análogo, para F_y:
F_{yy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{1+y^2}\Bigr) =-\frac{2y}{(1+y^2)^2},
e como F_y não depende de x,
F_{yx}(x,y)=0.

Resposta

As segundas derivadas parciais e a Hessiana de F são
F_{xx}(x,y)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}, \quad F_{xy}(x,y)=F_{yx}(x,y)=0, \quad F_{yy}(x,y)=-\frac{2y}{(1+y^2)^2},
ou seja,
\mathrm{Hess}\,F(x,y) =\begin{pmatrix} -\dfrac{2x}{(1+x^2)^2} & 0 \\[6pt] 0 & -\dfrac{2y}{(1+y^2)^2} \end{pmatrix}.]

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