05: Calcular a derivada de ordem 2 da função
Passo 1
O enunciado pede as derivadas de segunda ordem (isto é, as segundas derivadas parciais e a Hessiana) da função
O conteúdo principal é diferenciar funções compostas (regra da cadeia) e usar a fórmula de derivada de
.
Passo 2
Note que pela identidade de soma de arctangentes temos, sempre que
e no ramo principal,
Logo, salvo uma constante,
Passo 3
A partir de
aplicamos a derivada de
, que é
. Assim,
Passo 4
Agora derivamos mais uma vez para obter as segundas derivadas parciais. Para
:
Como
não depende de
, temos
Passo 5
De modo análogo, para
:
e como
não depende de
,
Resposta
As segundas derivadas parciais e a Hessiana de
são
ou seja,