02- Uma companhia que produz repelente de insetos alega que seu produto é eficiente pelo prazo de 400 horas. Uma análise de 25 itens escolhidos aleatoriamente acusou uma média de eficiência de 380 horas com desvio-padrão de 35 horas. Determine o intervalo de confiança com 95% de confiança para o tempo médio em horas de ação do repelente.
Escolha uma opção:
\begin{aligned} & \text { a. }(352,56 ; 407,44) \text { b). }(365,58 ; 394,42) \text { c. }(345,70 ; 414,30) \text { d). } \\\ & (359,42 ; 400,58)) \text { e). }(366,28 ; 393,72), \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=25 cujo tempo médio de ação é \bar x=380 horas e o desvio-padrão amostral é s=35 horas. Queremos construir o intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio \mu do repelente. O conteúdo é estimação de média populacional com variância desconhecida, usando a distribuição t.

Passo 2

Quando a variância populacional é desconhecida e n é pequeno, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t com n-1 graus de liberdade:
\bar x \pm t_{n-1,\,1-\frac\alpha2}\,\frac{s}{\sqrt n},
onde \alpha=0{,}05 e 1-\frac\alpha2=0{,}975.

Passo 3

Calculamos os graus de liberdade:
\nu = n-1 = 25-1 = 24.
O valor crítico é
t_{24,\,0{,}975}\approx 2,064.

Passo 4

A margem de erro é
E = t_{24,\,0{,}975}\,\frac{s}{\sqrt n} = 2,064\cdot\frac{35}{\sqrt{25}} =2,064\cdot7 \approx14,448.
Portanto o intervalo de confiança é
\bigl(380 - 14,448 \;;\;380 + 14,448\bigr) \approx(365,55 ; 394,45).

Passo 5

Comparando com as opções dadas, o intervalo mais próximo de (365,55 ; 394,45) é
(365,58 ; 394,42), que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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