Considere novamente o contexto da Questão 3 da Seção 2, em que um geólogo quer investigar a quantidade de minério de ferro disponível em um certo corpo de minério. O geólogo nesse caso n=9 amostras, obteve uma média amostral de \bar{X}=497,5 \mathrm{kt} e sabe-se que \sigma=3 \mathrm{kt}.
Refaça o teste de H_{0}: \mu=500 \mathrm{kt} contra H_{1}: \mu \neq 500 \mathrm{kt}, mas agora utilizando um nível de \alpha=1 \% de significância. Suas conclusões são as mesmas da Questão 3 da Seção 2? O que isso te diz sobre escolher um nível de significância \alpha arbitrário e específico para cada situação? Comente.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a média de uma população com desvio-padrão conhecido. Temos n=9 amostras, média amostral \bar{X}=497,5 kt e \sigma=3 kt. O objetivo é testar
H_{0}: \mu=500\text{ kt} \quad\text{versus}\quad H_{1}: \mu\neq500\text{ kt}
ao nível de significância \alpha=1\%. Vamos usar o teste Z, pois \sigma é conhecido.

Passo 2

A estatística de teste é
Z \;=\;\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}
onde \mu_{0}=500 kt. Substituindo os valores:
Z = \frac{497,5 - 500}{3/\sqrt{9}} = \frac{-2,5}{3/3} = -2,5.

Passo 3

Para \alpha=1\% em teste bilateral, os valores críticos são
\pm z_{1-\alpha/2} = \pm z_{0,995} \approx \pm2,575.

Passo 4

Comparamos \lvert Z\rvert = 2,5 e o limite 2,575. Como
\lvert Z\rvert = 2,5 < 2,575,
não rejeitamos H_{0} ao nível de 1\%.

Passo 5

Na Questão 3 da Seção 2, com \alpha=5\%, tínhamos
z_{0,975}\approx1,96 \quad\text{e} \quad\lvert Z\rvert=2,5>1,96,
logo lá rejeitávamos H_{0}. Agora, com \alpha=1\%, a conclusão inverte: não rejeitamos.

Passo 6

Isso mostra que a decisão do teste depende fortemente de \alpha. Níveis de significância são arbitrários e devem ser fixados antes da análise, considerando o contexto e os custos de erros do tipo I e II. Usar sempre o mesmo \alpha sem justificativa pode levar a conclusões inconsistentes. Uma alternativa mais robusta é calcular o p-valor e avaliar a evidência sem depender de limiares fixos.

Resposta

Ao nível de \alpha=1\%, não rejeitamos H_{0}, conclusão diferente da de \alpha=5\%. Isso ilustra que escolher \alpha afeta a decisão e deve ser feito de forma criteriosa, não arbitrária.

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