Uma empresa de contabilidade observou que o tempo médio que seus 31 clientes gastaram para envio da documentação do imposto de renda foi de 68 dias. Supondo que o tempo de envio da documentação pelos clientes para empresa segue distribuição normal com desvio-padrão de 23 dias, teste a hipótese de que os clientes gastam mais de 60 dias para envio da documentação com nível de significância de 2,5%.

Solução:

Hipóteses: H 0: \mu=60
versus H 1: \mu > 60.
Estatística Observada:
Região Crítica: rejeitamos H 0 se a estatística observada for maior que o valor crítico.
Decisão: Rejeitamos H0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=31 de tempos de envio, com média amostral \bar x=68 dias e desvio-padrão populacional conhecido \sigma=23 dias. Queremos testar, ao nível de significância de 2,5\%, se o tempo médio \mu é maior que 60 dias. O conteúdo aplicado é o teste de hipótese para a média populacional com variância conhecida (teste z).

Passo 2

Definimos as hipóteses e a estatística de teste.
H_0: \mu = 60
H_1: \mu > 60
Como \sigma é conhecido e a população é normal, usamos a estatística
z \;=\; \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.

Passo 3

Calculamos o desvio-padrão da média e o valor observado de z:
\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{23}{\sqrt{31}}\approx 4,13,
z_{\text{obs}} = \frac{68 - 60}{4,13} \approx 1,94.

Passo 4

Como o teste é unilateral à direita com \alpha=0,025, o valor crítico é
z_{1-\alpha} = z_{0,975} \approx 1,96.
Rejeitamos H_0 se z_{\text{obs}}>z_{1-\alpha}.

Passo 5

Comparando z_{\text{obs}}\approx1,94 com z_{1-\alpha}\approx1,96, temos
1,94 < 1,96,
portanto não rejeitamos H_0.

Resposta

Ao nível de significância de 2,5\%, não há evidências suficientes para concluir que o tempo médio de envio seja maior que 60 dias.

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