(04) Seja a função f(x)=\frac{\alpha \beta^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} onde \alpha=1,5 \beta=500; e \Omega=\{X: \beta \leq x<\infty\}, essa é a função que modela a renda de determinada população. Determine a probabilidade da renda da população ser superior a R \ 12000,00$

Passo 1

O enunciado dá a densidade
\displaystyle f(x)=\frac{\alpha\,\beta^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} para x\ge\beta, com \alpha=1,5 e \beta=500, modelo conhecido como distribuição de Pareto. Precisamos calcular a probabilidade da renda X ser superior a R\$12000, ou seja
P(X>12000).

Passo 2

Para a distribuição de Pareto, a função de distribuição acumulada é
F(x)=1-\Bigl(\frac{\beta}{x}\Bigr)^{\!\alpha} \quad(x\ge\beta),
logo a probabilidade complementar (survival function) fica
P(X>x)=1-F(x)=\Bigl(\frac{\beta}{x}\Bigr)^{\!\alpha}.

Passo 3

Aplicando x=12000 na fórmula do passo anterior, obtemos
P(X>12000) =\Bigl(\frac{\beta}{12000}\Bigr)^{\!\alpha}.

Passo 4

Substituindo \beta=500 e \alpha=1,5, vem
P(X>12000) =\Bigl(\frac{500}{12000}\Bigr)^{1,5} =\Bigl(\frac{1}{24}\Bigr)^{1,5} \approx0,0085.

Resposta

A probabilidade da renda ser superior a R\$12000 é aproximadamente 0,0085 (ou 0{,}85\%).

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