02 - A função de onda
para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, formado por uma partícula de massa
sob a ação de uma força restauradora linear com constante
, tal que o potencial é
, é dada por
em que
é uma constante de normalização real.
a) Verifique se essa expressão é uma solução para a equação de Schroedinger para o potencial dado.
b) Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador.
c) Normalize a função de onda obtendo o valor da constante
.
a) Verifique se essa expressão é uma solução para a equação de Schroedinger para o potencial dado.
b) Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador.
c) Normalize a função de onda obtendo o valor da constante
Passo 1
O enunciado dá a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico simples com potencial
:
onde
é real. Precisamos (a) verificar que
satisfaz a equação de Schrödinger
(b) calcular a densidade de probabilidade
e (c) determinar
impondo
. Vamos usar
.
Passo 2
Para (a) calculamos primeiro a derivada temporal:
Agora a derivada espacial:
Aplicando o operador cinético,
e somando o potencial
obtemos
Como ambos os lados valem
,
satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 3
Para (b) a densidade de probabilidade é
Passo 4
Para (c) normalizamos:
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Resposta
a) A função de onda satisfaz a equação de Schrödinger com
.
b)
c)
b)
c)