02 - A função de onda Psi(x, t) para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, formado por uma partícula de massa m sob a ação de uma força restauradora linear com constante C, tal que o potencial é V(x)=C x^2 / 2, é dada por
Psi(x, t)=A e^-(raizC m / 2 hbar) x^2 e^-i / 2(raizC m)
em que A é uma constante de normalização real.
a) Verifique se essa expressão é uma solução para a equação de Schroedinger para o potencial dado.
b) Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador.
c) Normalize a função de onda obtendo o valor da constante A.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico simples com potencial V(x)=tfracC2x^2:
Psi(x,t)=Aexpl(-raizCm2hbar,x^2r)expl(-i2,raizCmhbar,tr),
onde A é real. Precisamos (a) verificar que Psi satisfaz a equação de Schrödinger
ihbarpartialPsipartial t =l[-hbar^22mpartial^2partial x^2+C2x^2r]Psi,
(b) calcular a densidade de probabilidade rho(x,t)=|Psi|^2 e (c) determinar A impondo integral-infty^inftyrho(x,t),dx=1. Vamos usar omega=raiztfracCm.

Passo 2

Para (a) calculamos primeiro a derivada temporal:
partialPsipartial t =Psil(-i2,raizCmhbarr) =-iomega2,Psi Longrightarrow ihbarpartialPsipartial t =hbaromega2,Psi
Agora a derivada espacial:
partialPsipartial x =-momegahbar,x,Psi, partial^2Psipartial x^2 =l(-momegahbar+m^2omega^2hbar^2x^2r)Psi
Aplicando o operador cinético,
-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2 =l(hbaromega2-momega^22x^2r)Psi
e somando o potencial tfracC2x^2=tfracmomega^22x^2 obtemos
l[-hbar^22mpartial^2partial x^2+C2x^2r]Psi =hbaromega2,Psi
Como ambos os lados valem tfrachbaromega2Psi, Psi satisfaz a equação de Schrödinger.

Passo 3

Para (b) a densidade de probabilidade é
rho(x,t)=|Psi(x,t)|^2 =A^2expl(-raizCmhbar,x^2r) =A^2expl(-momegahbar,x^2r)

Passo 4

Para (c) normalizamos:
1=integral-infty^inftyrho(x,t),dx =A^2integral-infty^inftye^-momegahbarx^2,dx =A^2raizpihbarmomega
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A^2=raizmomegapihbar Longrightarrow A=l(momegapihbarr)^!1/4 =l(raizCmpihbarr)^!1/4

Resposta

a) A função de onda satisfaz a equação de Schrödinger com E0=tfrachbaromega2.
b) rho(x,t)=A^2expl(-tfracmomegahbarx^2r)
c) A=l(momega/(pihbar)r)^1/4=l(raizCm/(pihbar)r)^1/4

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