Uma locomotiva possui uma potência máxima de 1,5 times 10^6 W. Esta locomotiva acelera um trem com 1 m / s de velocidade até 2,5 m / s, com potência máxima, num tempo de 30 s . (a) Desprezando a força de atrito, calcule a massa do trem. (b) Ache a velocidade do trem em função do tempo durante o intervalo.
Resposta: (a) 1,7 times 10^7 kg. (b) (1+0,18 t)^1 / 2.

Passo 1

O enunciado diz que uma locomotiva de potência máxima ,P=1,5times10^6,W acelera um trem de v0=1,0,m/s até vf=2,5,m/s em T=30,s, desprezando atrito. O conteúdo aqui é a relação entre potência, força e aceleração, que leva a uma equação diferencial para v(t).

Passo 2

Em cada instante, a potência entregue à locomotiva é
P = F,v,
onde F é a força resultante. Como F=m,dvdt, temos
m,dvdt = Pv

Passo 3

Separamos variáveis:
v,dv = Pm,dt
e integramos de t=0 (onde v=v0) até t=T (onde v=vf):
integralv0^vf v,dv = Pmintegral0^T dt Longrightarrow 12l(vf^2 - v0^2r) = Pm,T
Dessa igualdade isolamos m:
m = 2,P,Tvf^2 - v0^2 = 2,(1,5times10^6),(30)(2,5)^2 - (1,0)^2 approx 1,7times10^7,kg

Passo 4

Para achar v(t) basta reintegrar mantendo constante a potência máxima. A equação integrada geral é
v^2(t) = v0^2 + 2,Pm,t Longrightarrow v(t) = raiz,v0^2 + 2Pm,t,
Substituindo v0=1,0, P/mapprox0,0875 (pois 2P/mapprox0,175), obtemos
v(t) = raiz,1 + 0,18,t,

Resposta

(a) m approx 1,7times10^7,kg
(b) v(t) = raiz,1 + 0,18,t,

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