02.(GV) Sejam f e g duas funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}, tais que f(x)=2 x e g(x)=2-x. Qual é o valor de x na equação f(g(x))+g(f(x))=f(f(x))+g(g(x)).

Passo 1

O enunciado dá duas funções f e g de \mathbb{R} em \mathbb{R}, definidas por
f(x)=2x
e
g(x)=2 - x,
e pede resolver a equação
f\bigl(g(x)\bigr) + g\bigl(f(x)\bigr) \;=\; f\bigl(f(x)\bigr) + g\bigl(g(x)\bigr).
O conteúdo aqui é cálculo de composições de funções e solução de equação algébrica em x.

Passo 2

Calcular as duas composições do lado esquerdo:
f\bigl(g(x)\bigr) =2\cdot g(x) =2\,(2 - x) =4 - 2x,
g\bigl(f(x)\bigr) =2 - f(x) =2 - 2x =2 - 2x.

Passo 3

Calcular as duas composições do lado direito:
f\bigl(f(x)\bigr) =2\cdot f(x) =2\,(2x) =4x,
g\bigl(g(x)\bigr) =2 - g(x) =2 - (2 - x) =x.
Substituindo na equação temos
(4 - 2x) + (2 - 2x) \;=\; 4x + x \quad\Longrightarrow\quad 6 - 4x = 5x \quad\Longrightarrow\quad 6 = 9x \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{2}{3}.

Resposta

\tfrac{2}{3}

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