Questão 3 Considere a seguinte equação de superfície no espaço, onde
é um parámetro real:
-
Determine o tipo de superfície descrito pela equação acima para
.
-
Determine o tipo de superfície quádrica descrito pela equação acima para
nos seguintes intervalos:
.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a superfície quádrupla dada por
em dois casos especiais (
e
) e, depois, nos intervalos
,
e
. O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quádricas segundo os sinais dos coeficientes de
,
e
.
Passo 2
Considere
. Os coeficientes ficam
Logo a equação é
e não há termo em
. Essa é a equação de um cilindro circular de eixo paralelo ao eixo
.
Passo 3
Considere
. Os coeficientes são
A equação reduz-se a
que descreve as duas retas paralelas aos eixos
e
, isto é, o conjunto das duas “chapas” (planos)
e
. É uma superfície degenerada: par de planos.
Passo 4
Para
genérico, chamemos
A regra de classificação é:
. Se todos os
têm o mesmo sinal, é elipsoide.
. Se dois coeficientes têm sinal positivo e um sinal negativo, é hiperbolóide de uma folha.
. Se um coeficiente é positivo e dois são negativos, é hiperbolóide de duas folhas.
(Desconsideramos aqui casos degenerados, pois as fronteiras já foram .)
(Desconsideramos aqui casos degenerados, pois as fronteiras já foram
Passo 5
Análise dos sinais de
e
nos intervalos:
Padrão
: dois positivos, um negativo
hiperbolóide de uma folha.
Padrão
: dois positivos, um negativo
hiperbolóide de uma folha.
Padrão
: todos positivos
elipsoide.
Resposta
Para
: cilindro circular de eixo
.
Para : par de planos
.
Para
Para
: hiperbolóide de uma folha.
Para : hiperbolóide de uma folha.
Para : elipsoide.
Para
Para