Questão 3 Considere a seguinte equação de superfície no espaço, onde \lambda é um parámetro real:
x^{2}+\frac{1}{2}(\lambda+1) y^{2}+\left(\lambda^{2}-1\right) z^{2}=1
  1. [0,75 \mathrm{pt}] Determine o tipo de superfície descrito pela equação acima para \lambda=1 \mathrm{e} \lambda=-1.
  2. [1,25 \mathrm{pt}] Determine o tipo de superfície quádrica descrito pela equação acima para \lambda nos seguintes intervalos: (-\infty,-1),(-1,1),(1, \infty).

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a superfície quádrupla dada por
x^{2} + \tfrac12(\lambda+1)\,y^{2} + (\lambda^{2}-1)\,z^{2} = 1
em dois casos especiais ( \lambda=1 e \lambda=-1) e, depois, nos intervalos (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty). O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quádricas segundo os sinais dos coeficientes de x^2, y^2 e z^2.

Passo 2

Considere \lambda=1. Os coeficientes ficam
a_x = 1,\quad a_y = \tfrac12(1+1)=1,\quad a_z = 1^2 -1 = 0.
Logo a equação é
x^2 + y^2 = 1,
e não há termo em z^2. Essa é a equação de um cilindro circular de eixo paralelo ao eixo z.

Passo 3

Considere \lambda=-1. Os coeficientes são
a_x = 1,\quad a_y = \tfrac12(-1+1)=0,\quad a_z = (-1)^2 - 1 = 0.
A equação reduz-se a
x^2 = 1,
que descreve as duas retas paralelas aos eixos y e z, isto é, o conjunto das duas “chapas” (planos) x=1 e x=-1. É uma superfície degenerada: par de planos.

Passo 4

Para \lambda genérico, chamemos
a_x = 1,\quad a_y = \tfrac12(\lambda+1),\quad a_z = \lambda^2-1.
A regra de classificação é:
1. Se todos os a_i têm o mesmo sinal, é elipsoide.
2. Se dois coeficientes têm sinal positivo e um sinal negativo, é hiperbolóide de uma folha.
3. Se um coeficiente é positivo e dois são negativos, é hiperbolóide de duas folhas.
(Desconsideramos aqui casos degenerados, pois as fronteiras já foram \lambda=\pm1.)

Passo 5

Análise dos sinais de a_y e a_z nos intervalos:
(-\infty, -1):
\lambda + 1 < 0 \implies a_y < 0, \lambda^2 - 1 > 0 \implies a_z > 0.
Padrão (+, -, +): dois positivos, um negativo \to hiperbolóide de uma folha.
(-1, 1):
\lambda + 1 > 0 \implies a_y > 0, \lambda^2 - 1 < 0 \implies a_z < 0.
Padrão (+, +, -): dois positivos, um negativo \to hiperbolóide de uma folha.
(1, \infty):
\lambda + 1 > 0 \implies a_y > 0, \lambda^2 - 1 > 0 \implies a_z > 0.
Padrão (+, +, +): todos positivos \to elipsoide.

Resposta

Para \lambda=1: cilindro circular de eixo z.
Para \lambda=-1: par de planos x=\pm1.
Para \lambda\in(-\infty,-1): hiperbolóide de uma folha.
Para \lambda\in(-1,1): hiperbolóide de uma folha.
Para \lambda\in(1,\infty): elipsoide.

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