06.(MACK) Sejam as funções f e g de \mathbb{R} em \mathbb{R}, definidas por f(x)=x^{2}-4 x+10 e g(x)=-5 x+20. Qual é o valor da expressão y=\frac{(f(4))^{2}-g(f(4))}{f(0)-g(f(0))} ?

Passo 1

O enunciado apresenta as funções f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=x^{2}-4x+10
e g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
g(x)=-5x+20
e pede para calcular
y = \frac{(f(4))^{2} - g\bigl(f(4)\bigr)}{f(0) - g\bigl(f(0)\bigr)}.
Para resolver, basta avaliar f nos pontos 4 e 0, aplicar g nesses resultados e montar a fração.

Passo 2

Calcular f(4):
f(4) = 4^{2} - 4\cdot 4 + 10 = 16 - 16 + 10 = 10.

Passo 3

Usando f(4)=10, calcular g(f(4)):
g(10) = -5\cdot 10 + 20 = -50 + 20 = -30.
Então o numerador é
(f(4))^{2} - g(f(4)) = 10^{2} - (-30) = 100 + 30 = 130.

Passo 4

Calcular f(0):
f(0) = 0^{2} - 4\cdot 0 + 10 = 10.
Em seguida,
g\bigl(f(0)\bigr) = g(10) = -30,
logo o denominador é
f(0) - g\bigl(f(0)\bigr) = 10 - (-30) = 40.

Passo 5

Dividindo numerador por denominador, obtemos
y = \frac{130}{40} = \frac{13}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{4}

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