08.(MP) Para um número real fixo \alpha, a função f(x)=\alpha \cdot x-2 é tal que f(f(1))=-3. Qual é o valor de \alpha ? 09.(ESPM) Considere as funções reais f(x)=2 x+1 e g(x)=x-k, com k \in \mathbb{R}. Podemos afirmar que f_{o} g(x)=g_{o} f(x) para qualquer x real se o valor de k for igual a :

Passo 1

O enunciado 08 nos dá uma função f(x)=\alpha x - 2 com \alpha\in\mathbb{R} e a condição f(f(1)) = -3. Vamos usar composição de funções para encontrar \alpha.

Passo 2

Primeiro calculamos f(1):
f(1)=\alpha\cdot1-2=\alpha-2.
Em seguida,
f\bigl(f(1)\bigr)=f(\alpha-2) =\alpha(\alpha-2)-2 =\alpha^2-2\alpha-2.
Igualando a -3, temos
\alpha^2-2\alpha-2=-3 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^2-2\alpha+1=0 \quad\Longrightarrow\quad (\alpha-1)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=1.

Passo 3

O enunciado 09 apresenta as funções f(x)=2x+1 e g(x)=x-k, com k\in\mathbb{R}, e pede k tal que f\circ g(x)=g\circ f(x) para todo x.

Passo 4

Calculamos
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(x-k)=2(x-k)+1=2x-2k+1,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g(2x+1)=(2x+1)-k=2x+1-k.
Para serem iguais para todo x, igualamos as partes constantes:
-2k+1=1-k \quad\Longrightarrow\quad -2k+1-1+k=0 \quad\Longrightarrow\quad -k=0 \quad\Longrightarrow\quad k=0.

Resposta

(08) \alpha = 1
(09) k = 0

Exercícios relacionados