Seja T a transformação Linear em P_{3}(R) dada por :
P(1)=1-t
P(1+t)=t^{3}
P\left(t+t^{2}\right)=3-t^{2}
P\left(t^{2}+t^{3}\right)=1+t^{2}
Vamos determinar T\left(x+y t+z t^{2}+w t^{3}\right) onde x+y t+z t^{2}+w t^{3} é um polinômio qualquer de P_{3}(R) e, a seguir, calcule T\left(2-3 t+4 t^{3}\right).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon P_{3}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R})
pelos valores em quatro polinômios:
T(1)=1-t,\quad T(1+t)=t^{3},\quad T(t+t^{2})=3-t^{2},\quad T(t^{2}+t^{3})=1+t^{2}.
Queremos primeiro encontrar T nos monômios da base \{1,t,t^{2},t^{3}\}, depois escrever
\displaystyle T(x + yt + zt^{2} + wt^{3}) e, por fim, calcular
\displaystyle T(2 - 3t + 4t^{3}).

Passo 2

Usando linearidade em cada relação, achamos T nos monômios:
– Já temos
T(1)=1-t.
– De T(1+t)=T(1)+T(t)=t^{3} segue
T(t)=t^{3}-T(1)=t^{3}-(1-t)=-1 + t + t^{3}.
– De T(t+t^{2})=T(t)+T(t^{2})=3-t^{2} segue
T(t^{2})=3 - t^{2} - T(t) =3 - t^{2} -\bigl(-1+t+t^{3}\bigr) =4 - t - t^{2} - t^{3}.
– De T(t^{2}+t^{3})=T(t^{2})+T(t^{3})=1+t^{2} segue
T(t^{3})=1 + t^{2} - T(t^{2}) =1 + t^{2} - (4 - t - t^{2} - t^{3}) =-3 + t + 2t^{2} + t^{3}.

Passo 3

Para o polinômio genérico
\displaystyle p(t)=x + yt + zt^{2} + wt^{3}
pela linearidade
T(p)=x\,T(1)+y\,T(t)+z\,T(t^{2})+w\,T(t^{3}).
Substituindo os resultados do passo anterior e agrupando coeficientes, obtemos
T(p)(t) =(x - y + 4z - 3w) +(-x + y - z + w)\,t +(-z + 2w)\,t^{2} +(y - z + w)\,t^{3}.

Passo 4

Agora para p(t)=2 - 3t + 4t^{3} temos x=2, y=-3, z=0, w=4. Assim
\begin{aligned} T(p)(t) &=(2 - (-3) + 4\cdot0 - 3\cdot4)\\\ &\quad +(-2 + (-3) - 0 + 4)\,t +(-0 + 2\cdot4)\,t^{2} +(-3 - 0 + 4)\,t^{3}\\\ &=-7 - t + 8t^{2} + t^{3}. \end{aligned}

Resposta

T(x + yt + zt^{2} + wt^{3}) =(x - y + 4z - 3w) +(-x + y - z + w)\,t +(-z + 2w)\,t^{2} +(y - z + w)\,t^{3},
T(2 - 3t + 4t^{3})=-7 - t + 8t^{2} + t^{3}.

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