(14) Resolva o problema de valor inicial,
(15) Considere a seguinte equação diferencial,
a) Mostre que a equação é exata.
b) Encontre a solução geral para equação.
\footnotetext{
Dica: divida o numerador e o denominador por
, e faça mudança de variáveis
.
Dica:
.
b) Encontre a solução geral para equação.
Passo 1
Enunciados e o que é pedido:
- Problema (14): Resolver o problema de valor inicial
Pergunta: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial para
e a condição inicial
. As informações relevantes: coeficiente de
é
e o termo à direita é
. A condição inicial fixa a constante de integração.
- Problema (15): Equação
Perguntas:
a) Mostrar que a equação é exata.
b) Encontrar a solução geral da equação.
Informações relevantes: domínio implícito (porque aparece
); precisamos reescrever a equação na forma
para testar exatidão.
a) Mostrar que a equação é exata.
b) Encontrar a solução geral da equação.
Informações relevantes: domínio implícito
Passo 2
Resolução do problema (14) — escolha do método e ideia principal (explicação didática):
A equação tem a forma linear de primeira ordem
A equação tem a forma linear de primeira ordem
onde aqui
e
. O método padrão para esse tipo de equação usa um fator integrante
definido por
A razão de usar
é que multiplicando a equação por
obtemos o lado esquerdo como derivada de um produto:
. Vamos aplicar isso passo a passo.
Calcule o fator integrante:
onde usei que
para poder simplificar
.
Multiplicando a equação original por
obtemos
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Portanto a equação fica
Passo 3
Integrar para encontrar
(explicando a técnica de integração utilizada):
Precisamos integrar o lado direito:
Precisamos integrar o lado direito:
Calcule
por partes. A fórmula de integração por partes é
escolhemos
(então
) e
. Integramos
:
. Aplicando partes:
Agora
. Então
Multiplicando por
,
Logo
Passo 4
Isolar
e aplicar a condição inicial (mostrando cada conta):
Da expressão anterior temos
Da expressão anterior temos
Agora usamos
. Substituindo
:
Como
e
, fica
Multiplicando por
:
Substituindo
em
:
Simplificando o termo em comum
:
Passo 5
Resolução do problema (15), item (a): reescrever em forma diferencial e testar exatidão (explicando o conceito):
Queremos escrever a equação na forma . Multiplicando por
e reorganizando:
Queremos escrever a equação na forma
Assim definimos
A equação é exata se
(isso vem da condição para existir uma função potencial
tal que
). Calcule as derivadas parciais:
Como
para
, a equação é exata.
Passo 6
Resolução do problema (15), item (b): encontrar a função potencial e a solução geral (método e contas):
Se e
, então integrando
em relação a
(tratando
como constante) obtemos
até uma função arbitrária de
:
Se
onde
é uma função a determinar. Diferenciando
em relação a
:
Mas devemos ter
. Assim
Integramos em
:
(constante
). Portanto a função potencial é
A solução geral implícita da equação exata é
constante. Podemos escrever a solução geral como
ou isolando
(onde
):
Observação: a solução é válida em intervalos onde
e onde
não muda de sinal ou não é zero (ou seja, evita
se for necessário isolar
). A forma implícita
é a forma geral mais robusta.
Resposta
(14)
(15a) É exata, pois
(15b) Solução geral (implícita):
Forma explícita (quando ):
Forma explícita (quando