(14) Resolva o problema de valor inicial,
y^{\prime}+\frac{1}{x} y=3 \cos (2 x), \quad \text { onde } y(\pi)=0, \quad \forall x>0
(15) Considere a seguinte equação diferencial,
\frac{y}{x}+6 x+(\ln x-2) y^{\prime}=0 .
a) Mostre que a equação é exata.
b) Encontre a solução geral para equação.
\footnotetext{
{ }^{5} Dica: divida o numerador e o denominador por x, e faça mudança de variáveis v=\frac{y}{x}.
{ }^{6} Dica: \int \frac{1}{1+t^{2}} d t=\arctan (t).

Passo 1

Enunciados e o que é pedido:
  • Problema (14): Resolver o problema de valor inicial
y^{\prime}+\frac{1}{x}y=3\cos(2x),\qquad y(\pi)=0,\qquad x>0.
Pergunta: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial para x>0 e a condição inicial y(\pi)=0. As informações relevantes: coeficiente de y é \frac{1}{x} e o termo à direita é 3\cos(2x). A condição inicial fixa a constante de integração.
  • Problema (15): Equação
\frac{y}{x}+6x+(\ln x-2)y'=0.
Perguntas:
a) Mostrar que a equação é exata.
b) Encontrar a solução geral da equação.
Informações relevantes: domínio implícito x>0 (porque aparece \ln x); precisamos reescrever a equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 para testar exatidão.

Passo 2

Resolução do problema (14) — escolha do método e ideia principal (explicação didática):
A equação tem a forma linear de primeira ordem
y'+P(x)y=Q(x),
onde aqui P(x)=\frac{1}{x} e Q(x)=3\cos(2x). O método padrão para esse tipo de equação usa um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
A razão de usar \mu é que multiplicando a equação por \mu obtemos o lado esquerdo como derivada de um produto: \frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q. Vamos aplicar isso passo a passo.
Calcule o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp(\ln x)=x,
onde usei que x>0 para poder simplificar e^{\ln x}=x.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=x obtemos
x y' + y = 3x\cos(2x).
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x y:
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x y' + y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=3x\cos(2x).

Passo 3

Integrar para encontrar xy (explicando a técnica de integração utilizada):
Precisamos integrar o lado direito:
xy=\int 3x\cos(2x)\,dx + C.
Calcule \int x\cos(2x)\,dx por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
escolhemos u=x (então du=dx) e dv=\cos(2x)\,dx. Integramos dv: v=\int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x). Aplicando partes:
\int x\cos(2x)\,dx = x\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx.
Agora \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x). Então
\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}\cos(2x)\Big) = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + \text{const}.
Multiplicando por 3,
\int 3x\cos(2x)\,dx = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + \text{const}.
Logo
xy = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C.

Passo 4

Isolar y e aplicar a condição inicial (mostrando cada conta):
Da expressão anterior temos
y = \frac{1}{x}\Big(\frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C\Big) = \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cdot\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x}.
Agora usamos y(\pi)=0. Substituindo x=\pi:
0 = \frac{3}{2}\sin(2\pi) + \frac{3}{4}\cdot\frac{\cos(2\pi)}{\pi} + \frac{C}{\pi}.
Como \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1, fica
0 = 0 + \frac{3}{4\pi} + \frac{C}{\pi}.
Multiplicando por \pi:
0 = \frac{3}{4} + C \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{3}{4}.
Substituindo C em y:
y = \frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cdot\frac{\cos(2x)}{x} - \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando o termo em comum \frac{3}{4x}:
y(x)=\frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4x}\big(\cos(2x)-1\big).

Passo 5

Resolução do problema (15), item (a): reescrever em forma diferencial e testar exatidão (explicando o conceito):
Queremos escrever a equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Multiplicando por dx e reorganizando:
\Big(\frac{y}{x}+6x\Big)\,dx + (\ln x-2)\,dy = 0.
Assim definimos
M(x,y)=\frac{y}{x}+6x,\qquad N(x,y)=\ln x-2.
A equação é exata se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x (isso vem da condição para existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy). Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{x}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} para x>0, a equação é exata.

Passo 6

Resolução do problema (15), item (b): encontrar a função potencial e a solução geral (método e contas):
Se M=\Phi_x e N=\Phi_y, então integrando M em relação a x (tratando y como constante) obtemos \Phi até uma função arbitrária de y:
\Phi(x,y)=\int\Big(\frac{y}{x}+6x\Big)\,dx = y\int\frac{1}{x}\,dx + \int 6x\,dx = y\ln x + 3x^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Diferenciando \Phi em relação a y:
\Phi_y = \ln x + h'(y).
Mas devemos ter \Phi_y=N=\ln x-2. Assim
\ln x + h'(y) = \ln x - 2 \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-2.
Integramos em y: h(y)=-2y + C (constante C). Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)= y\ln x + 3x^2 -2y + C.
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)= constante. Podemos escrever a solução geral como
y\ln x + 3x^2 -2y = C,
ou isolando y (onde \ln x -2\neq 0):
y=\frac{C-3x^2}{\ln x -2}.
Observação: a solução é válida em intervalos onde x>0 e onde \ln x-2 não muda de sinal ou não é zero (ou seja, evita x=e^2 se for necessário isolar y). A forma implícita \;y\ln x + 3x^2 -2y = C\; é a forma geral mais robusta.

Resposta

(14) \displaystyle y(x)=\frac{3}{2}\sin(2x)+\frac{3}{4x}\big(\cos(2x)-1\big).
(15a) É exata, pois \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{y}{x}+6x\Big)=\frac{1}{x}=\frac{\partial}{\partial x}(\ln x-2).
(15b) Solução geral (implícita): \displaystyle y\ln x + 3x^{2} - 2y = C.
Forma explícita (quando \ln x-2\neq0): \displaystyle y=\frac{C-3x^{2}}{\ln x-2}.

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