02. Responda:
Em que condições a função quadrática
está definida?
Passo 1
O enunciado dá a expressão da função
com parâmetro
e variável
, e pergunta “em que condições a função quadrática … está definida?”. As informações relevantes que temos são: o coeficiente do termo
é
, o coeficiente do termo
é
e o termo independente é
. A pergunta que precisamos responder é: quais valores de
fazem com que a expressão seja (i) uma função quadrática propriamente dita, e (ii) que tenham outras interpretações possíveis (por exemplo transformar-se em função linear ou constante)? Além disso, é útil saber o domínio em
dessa expressão.
Passo 2
O que significa “ser uma função quadrática”? Uma função é quadrática quando o coeficiente do termo
é diferente de zero. Aqui esse coeficiente é
. Então, para que a função seja realmente quadrática precisamos ter
Agora vou explicar como resolver essa desigualdade de forma bem simples: reconhecemos
como uma diferença de quadrados e fatoramos:
Uma produto é zero exatamente quando um dos fatores é zero. Portanto os valores que anulam o coeficiente são
e
. Concluímos que para ser função quadrática é necessário e suficiente que
Passo 3
Vamos verificar os casos especiais
e
, porque eles aparecem ao resolver
.
- Se
, substituindo na expressão:
Como o termo em
some, a função deixa de ser quadrática e passa a ser linear:
- Se
, substituindo:
Aqui somam-se também os termos em
e em
, restando uma função constante:
Esses cálculos mostram exatamente o que acontece quando o coeficiente do
é zero: a “quadrática” degenera para linear (
) ou para constante (
).
Passo 4
Sobre o domínio em
: a expressão dada é um polinômio em
para qualquer valor de
. Polinômios estão definidos para todos os números reais, ou seja o domínio em
é sempre
, independentemente do valor de
. Em provas, quando perguntam se uma função polinomial “está definida”, muitas vezes querem saber se o termo quadrático existe (como tratamos acima); mas matematicamente o polinômio existe para todo
.
Passo 5
Resumo do procedimento que você deve lembrar para a prova (método rápido): olhe o coeficiente do termo de maior grau (aqui
). Se esse coeficiente depender de
, imponha que ele seja diferente de zero para garantir que a função seja quadrática. Se for igual a zero em algum
, calcule a forma resultante (linear ou constante) substituindo
.
Resposta
A função é quadrática para
e
.\n
Se então
(função linear).\n
Se então
(função constante).\n
O domínio em é
para todo
.
Se
Se
O domínio em