02. Responda:

Em que condições a função quadrática \mathrm{y}=\left(\mathrm{m}^{2}-4\right) \mathrm{x}^{2}-(\mathrm{m}+2) \mathrm{x}-1 está definida?

Passo 1

O enunciado dá a expressão da função
y = \left(m^{2}-4\right)x^{2} - (m+2)x - 1
com parâmetro m e variável x, e pergunta “em que condições a função quadrática … está definida?”. As informações relevantes que temos são: o coeficiente do termo x^{2} é \left(m^{2}-4\right), o coeficiente do termo x é -(m+2) e o termo independente é -1. A pergunta que precisamos responder é: quais valores de m fazem com que a expressão seja (i) uma função quadrática propriamente dita, e (ii) que tenham outras interpretações possíveis (por exemplo transformar-se em função linear ou constante)? Além disso, é útil saber o domínio em x dessa expressão.

Passo 2

O que significa “ser uma função quadrática”? Uma função é quadrática quando o coeficiente do termo x^{2} é diferente de zero. Aqui esse coeficiente é \left(m^{2}-4\right). Então, para que a função seja realmente quadrática precisamos ter
m^{2}-4 \neq 0.
Agora vou explicar como resolver essa desigualdade de forma bem simples: reconhecemos m^{2}-4 como uma diferença de quadrados e fatoramos:
m^{2}-4 = (m-2)(m+2).
Uma produto é zero exatamente quando um dos fatores é zero. Portanto os valores que anulam o coeficiente são m=2 e m=-2. Concluímos que para ser função quadrática é necessário e suficiente que
m \neq 2 \quad\text{e}\quad m \neq -2.

Passo 3

Vamos verificar os casos especiais m=2 e m=-2, porque eles aparecem ao resolver m^{2}-4=0.
  • Se m=2, substituindo na expressão:
y = (2^{2}-4)x^{2} - (2+2)x - 1 = 0\cdot x^{2} - 4x - 1.
Como o termo em x^{2} some, a função deixa de ser quadrática e passa a ser linear:
y = -4x - 1.
  • Se m=-2, substituindo:
y = ((-2)^{2}-4)x^{2} - (-2+2)x - 1 = 0\cdot x^{2} - 0\cdot x - 1.
Aqui somam-se também os termos em x^{2} e em x, restando uma função constante:
y = -1.
Esses cálculos mostram exatamente o que acontece quando o coeficiente do x^{2} é zero: a “quadrática” degenera para linear ( m=2) ou para constante ( m=-2).

Passo 4

Sobre o domínio em x: a expressão dada é um polinômio em x para qualquer valor de m. Polinômios estão definidos para todos os números reais, ou seja o domínio em x é sempre \mathbb{R}, independentemente do valor de m. Em provas, quando perguntam se uma função polinomial “está definida”, muitas vezes querem saber se o termo quadrático existe (como tratamos acima); mas matematicamente o polinômio existe para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Resumo do procedimento que você deve lembrar para a prova (método rápido): olhe o coeficiente do termo de maior grau (aqui x^{2}). Se esse coeficiente depender de m, imponha que ele seja diferente de zero para garantir que a função seja quadrática. Se for igual a zero em algum m, calcule a forma resultante (linear ou constante) substituindo m.

Resposta

A função é quadrática para m \neq 2 e m \neq -2.\n
Se m=2 então y=-4x-1 (função linear).\n
Se m=-2 então y=-1 (função constante).\n
O domínio em x é \mathbb{R} para todo m.

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