[02] Seja \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
p(x)=1-x+3 x^{2}, \quad q(x)=-2 x+4 x^{2} .
Determine:
(a) A norma (comprimento) de p e q.
(b) A distância entre p e q.
(c) O ângulo entre p e q.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno canônico, que associa a cada par de polinômios
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\quad q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}
o valor
\langle p,q\rangle = a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.
Os polinômios dados são
p(x)=1 - x + 3x^{2},\quad q(x)=-2x + 4x^{2}.
Precisamos calcular
(a) as normas \lVert p\rVert e \lVert q\rVert,
(b) a distância \lVert p - q\rVert,
(c) o ângulo entre p e q.

Passo 2

Extraímos os coeficientes de cada polinômio e aplicamos o produto interno canônico. Para
p(x)=1 - x + 3x^{2}
temos a_{0}=1,\;a_{1}=-1,\;a_{2}=3. Para
q(x)=-2x + 4x^{2}
temos b_{0}=0,\;b_{1}=-2,\;b_{2}=4.

Passo 3

A norma de um polinômio r é \lVert r\rVert = \sqrt{\langle r,r\rangle}.
Calculamos
\langle p,p\rangle = 1^{2}+(-1)^{2}+3^{2}=1+1+9=11,\quad \lVert p\rVert = \sqrt{11}.
\langle q,q\rangle = 0^{2}+(-2)^{2}+4^{2}=0+4+16=20,\quad \lVert q\rVert = \sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 4

A distância entre p e q é \lVert p-q\rVert. Os coeficientes de p-q são
(1-0,\;-1-(-2),\;3-4)=(1,\,1,\,-1),
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\langle p-q,p-q\rangle = 1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=3, \quad \lVert p-q\rVert = \sqrt{3}.

Passo 5

O ângulo \theta entre p e q satisfaz
\cos\theta = \frac{\langle p,q\rangle}{\lVert p\rVert\,\lVert q\rVert}.
Calculamos
\langle p,q\rangle = 1\cdot 0 + (-1)\cdot(-2) + 3\cdot4 = 0 + 2 + 12 = 14,
então
\cos\theta = \frac{14}{\sqrt{11}\,2\sqrt{5}} = \frac{14}{2\sqrt{55}} = \frac{7}{\sqrt{55}},
e
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{\sqrt{55}}\bigr).

Resposta

(a) \lVert p\rVert = \sqrt{11}, \lVert q\rVert = 2\sqrt{5}.
(b) \lVert p-q\rVert = \sqrt{3}.
(c) \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{\sqrt{55}}\bigr).

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