[02] Seja
espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere os polinômios
Determine:
(a) A norma (comprimento) de
e
.
(b) A distância entre
e
.
(c) O ângulo entre
e
.
(a) A norma (comprimento) de
(b) A distância entre
(c) O ângulo entre
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
com o produto interno canônico, que associa a cada par de polinômios
o valor
Os polinômios dados são
Precisamos calcular
(a) as normas e
,
(b) a distância ,
(c) o ângulo entre e
.
(a) as normas
(b) a distância
(c) o ângulo entre
Passo 2
Extraímos os coeficientes de cada polinômio e aplicamos o produto interno canônico. Para
temos
. Para
temos
.
Passo 3
A norma de um polinômio
é
.
Calculamos
Calculamos
Passo 4
A distância entre
e
é
. Os coeficientes de
são
logo
Passo 5
O ângulo
entre
e
satisfaz
Calculamos
então
e
Resposta
(a)
,
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)