Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}. Dados os vetores u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) em \mathbb{R}^{3}. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em \mathbb{R}^{3}. Se não for, diga em quais condições não valem.
(e) \langle u, v\rangle=2 u_{1} u_{3}-v_{2} v_{3}+u_{2} v_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle u,v\rangle \;=\; 2\,u_{1}u_{3}\;-\;v_{2}v_{3}\;+\;u_{2}v_{1}
definida em \mathbb{R}^3 satisfaz as quatro propriedades de produto interno:
  1. bilinearidade nas duas variáveis;
  2. simetria;
  3. positividade (i.e.\ \langle u,u\rangle\ge0);
  4. definitude positiva (i.e.\ \langle u,u\rangle=0 só se u=0).

Passo 2

Verificação da bilinearidade em u e v.
Para ser bilinear em u, precisaríamos de
\langle u+u',v\rangle =\langle u,v\rangle+\langle u',v\rangle \quad\text{e}\quad \langle \alpha u,v\rangle=\alpha\,\langle u,v\rangle.
Mas note que o termo -v_{2}v_{3} não depende de u; logo
\langle u+u',v\rangle =2\,(u_{1}+u_{1}')\,u_{3}+(\dots)-v_{2}v_{3} \neq \bigl[2\,u_{1}u_{3}+\dots-v_{2}v_{3}\bigr] +\bigl[2\,u_{1}'u_{3}+\dots-v_{2}v_{3}\bigr],
pois o -v_{2}v_{3} aparece duas vezes no somatório à direita.
Portanto não há linearidade em u (e, analogamente, tampouco em v).

Passo 3

Verificação da simetria.
Um produto interno deve satisfazer \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle para todo u,v.
Aqui
\langle u,v\rangle =2\,u_{1}u_{3}-v_{2}v_{3}+u_{2}v_{1}, \quad \langle v,u\rangle =2\,v_{1}v_{3}-u_{2}u_{3}+v_{2}u_{1}.
Em geral essas duas expressões não coincidem.
Por exemplo, para u=(1,0,0) e v=(0,1,0) temos
\langle u,v\rangle=0, \quad \langle v,u\rangle=1,
logo não é simétrica.

Passo 4

Verificação da positividade e definitude.
Para u=(u_{1},u_{2},u_{3}),
\langle u,u\rangle =2\,u_{1}u_{3}-u_{2}u_{3}+u_{2}u_{1}.
Escolhendo, por exemplo, u=(1,0,-1),
\langle u,u\rangle=2\cdot1\cdot(-1)-0\cdot(-1)+0\cdot1=-2<0,
o que viola até mesmo a positividade \langle u,u\rangle\ge0.
Além disso, para u=(1,0,0) ou u=(0,1,0) obtém-se \langle u,u\rangle=0 sem u=0, quebrando a definitude positiva.

Resposta

A aplicação não é um produto interno em \mathbb{R}^3.
Ela falha em:
  • bilinearidade (não é linear nem em u nem em v);
  • simetria (existe u,v tais que \langle u,v\rangle\neq\langle v,u\rangle);
  • positividade (há u\neq0 com \langle u,u\rangle<0);
  • definitude positiva (há u\neq0 com \langle u,u\rangle=0).

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