Considere o espaço vetorial
. Dados os vetores
e
em
. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em
. Se não for, diga em quais condições não valem.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
definida em
satisfaz as quatro propriedades de produto interno:
- bilinearidade nas duas variáveis;
- simetria;
- positividade (i.e.\
); - definitude positiva (i.e.\
só se ).
Passo 2
Verificação da bilinearidade em
e
.
Para ser bilinear em , precisaríamos de
Para ser bilinear em
Mas note que o termo
não depende de
; logo
pois o
aparece duas vezes no somatório à direita.
Portanto não há linearidade em (e, analogamente, tampouco em
).
Portanto não há linearidade em
Passo 3
Verificação da simetria.
Um produto interno deve satisfazer para todo
.
Aqui
Um produto interno deve satisfazer
Aqui
Em geral essas duas expressões não coincidem.
Por exemplo, para e
temos
Por exemplo, para
logo não é simétrica.
Passo 4
Verificação da positividade e definitude.
Para ,
Para
Escolhendo, por exemplo,
,
o que viola até mesmo a positividade
.
Além disso, para ou
obtém-se
sem
, quebrando a definitude positiva.
Além disso, para
Resposta
A aplicação não é um produto interno em
.
Ela falha em:
Ela falha em:
- bilinearidade (não é linear nem em
nem em ); - simetria (existe
tais que ); - positividade (há
com ); - definitude positiva (há
com ).