Considere o espaço vetorial
. Dados os vetores
e
em
. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em
. Se não for, diga em quais condições não valem.
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá o mapeamento em
e pede para verificar se isso é um produto interno. Para ser produto interno, devemos checar três propriedades:
- simetria,
- bilinearidade em cada argumento,
- positividade definida (isto é,
para todo e só vale zero em ).
Passo 2
Simetria e bilinearidade são fáceis de ver:
- Simetria: como
e , temos
- Bilinearidade: é clara porque cada termo é da forma constante vezes
, ou seja, é linear em e em separadamente.
Passo 3
O ponto crítico é a positividade definida. Vamos calcular
Para ser um produto interno, precisaríamos de
para todo
e
somente quando
.
Mas aqui vemos que:
Mas aqui vemos que:
- Se
ou , então . - Se
e , então mesmo que .
Isso viola a condição de positividade definida e a unicidade do zero.
Resposta
Não é produto interno, pois falha a propriedade de positividade definida:
não é sempre não-negativo e pode ser zero para vetores não-nulos (todos os vetores de forma
).