Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}. Dados os vetores u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) em \mathbb{R}^{3}. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em \mathbb{R}^{3}. Se não for, diga em quais condições não valem.
(d) \langle u, v\rangle=-u_{2} v_{2}-4 u_{3} v_{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá o mapeamento em \mathbb{R}^3
\langle u,v\rangle = -\,u_{2}v_{2}\;-\;4\,u_{3}v_{3}
e pede para verificar se isso é um produto interno. Para ser produto interno, devemos checar três propriedades:
  1. simetria,
  2. bilinearidade em cada argumento,
  3. positividade definida (isto é, \langle u,u\rangle\ge0 para todo u e só vale zero em u=0).

Passo 2

Simetria e bilinearidade são fáceis de ver:
  • Simetria: como u_2v_2=v_2u_2 e u_3v_3=v_3u_3, temos
\langle u,v\rangle = -u_2v_2 -4u_3v_3 = -v_2u_2 -4v_3u_3 = \langle v,u\rangle.
  • Bilinearidade: é clara porque cada termo é da forma constante vezes u_i v_i, ou seja, é linear em u e em v separadamente.

Passo 3

O ponto crítico é a positividade definida. Vamos calcular
\langle u,u\rangle = -\,u_{2}^{2} \;-\;4\,u_{3}^{2}.
Para ser um produto interno, precisaríamos de \langle u,u\rangle\ge0 para todo u e \langle u,u\rangle=0 somente quando u=(0,0,0).
Mas aqui vemos que:
  • Se u_{2}\neq0 ou u_{3}\neq0, então \langle u,u\rangle<0.
  • Se u_{2}=0 e u_{3}=0, então \langle u,u\rangle=0 mesmo que u_{1}\neq0.
Isso viola a condição de positividade definida e a unicidade do zero.

Resposta

Não é produto interno, pois falha a propriedade de positividade definida: \langle u,u\rangle não é sempre não-negativo e pode ser zero para vetores não-nulos (todos os vetores de forma (u_{1},0,0)).

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