[02] Sejam
inversíveis.
Mostre que as matrizes
e
tem os mesmos autovalores. Podemos dizer o mesmo dos autovetores? Justifique.
Mostre que as matrizes
Passo 1
O enunciado diz que
são invertíveis e pergunta:
- Mostrar que
e têm os mesmos autovalores. - Verificar se eles têm os mesmos autovetores.
Para resolver isso vamos usar o conceito de matrizes semelhantes e a relação entre autovalores e polinômio característico.
Passo 2
Lembrando que duas matrizes
e
são semelhantes se existe uma matriz invertível
tal que
Matrizes semelhantes têm exatamente o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas iguais).
Passo 3
Agora note que, como
é invertível, podemos escrever
Isto mostra que
é semelhante a
com o inversor
. Logo,
e
têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores.
Passo 4
Vamos analisar os autovetores. Suponha que
satisfaça
Multiplicando à esquerda por
obtemos
Como
é invertível,
. Então
é autovetor de
associado a
. Esse argumento dá uma bijeção entre autovetores de
e de
.
Por outro lado, em geral um vetor que é autovetor de
não é o mesmo autovetor de
; ele é “transportado” por
. Portanto não podemos dizer que compartilham exatamente os mesmos vetores, mas sim que há uma correspondência unívoca dada por
.
Por outro lado, em geral um vetor
Resposta
Eles não têm necessariamente os mesmos autovetores, mas existe uma bijeção entre os espaços próprios de