[02] Sejam A, B in M(n, n, K) inversíveis.
Mostre que as matrizes A B e B A tem os mesmos autovalores. Podemos dizer o mesmo dos autovetores? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que A,Bin M(n,n, K) são invertíveis e pergunta:
  1. Mostrar que AB e BA têm os mesmos autovalores.
  2. Verificar se eles têm os mesmos autovetores.
    Para resolver isso vamos usar o conceito de matrizes semelhantes e a relação entre autovalores e polinômio característico.

Passo 2

Lembrando que duas matrizes X e Y são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que
Y = P,X,P^-1
Matrizes semelhantes têm exatamente o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas iguais).

Passo 3

Agora note que, como B é invertível, podemos escrever
BA ;=; B,(AB),B^-1
Isto mostra que BA é semelhante a AB com o inversor P=B. Logo, BA e AB têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores.

Passo 4

Vamos analisar os autovetores. Suponha que xneq0 satisfaça
AB,x = lambda,x
Multiplicando à esquerda por B obtemos
B,A,(B,x) = B,(AB,x) = B,(lambda x) = lambda,(B,x)
Como B é invertível, B,xneq0. Então y = B,x é autovetor de BA associado a lambda. Esse argumento dá uma bijeção entre autovetores de AB e de BA.
Por outro lado, em geral um vetor x que é autovetor de AB não é o mesmo autovetor de BA; ele é “transportado” por B. Portanto não podemos dizer que compartilham exatamente os mesmos vetores, mas sim que há uma correspondência unívoca dada por xmapsto Bx.

Resposta

AB e BA têm os mesmos autovalores porque são matrizes semelhantes.
Eles não têm necessariamente os mesmos autovetores, mas existe uma bijeção entre os espaços próprios de AB e de BA dada por xmapsto Bx.

Exercícios relacionados