Calcule o determinante de A=(ai j)4 times 4 onde ai j=c2 i-j se i<j i-j se i >= j para todo i e todo j;

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz A=(aij)4times4 definida por
aij = 2i - j, & i<j, i - j, & i>= j
O conteúdo aqui é cálculo de determinante usando desenvolvimento por cofatores (Laplace). Vamos primeiro montar a matriz e depois expandir ao longo da primeira linha, que tem dois zeros, o que simplifica o cálculo.

Passo 2

Montamos explicitamente A para i,j=1,2,3,4:
A = a11&a12&a13&a14 a21&a22&a23&a24 a31&a32&a33&a34 a41&a42&a43&a44 = 0 &0 &-1 &-2 1 &0 &1 &0 2 &1 &0 &2 3 &2 &1 &0
Aqui, por exemplo, a13=2cdot1-3=-1 (pois 1<3) e a31=3-1=2 (pois 3>=1).

Passo 3

Como na primeira linha só há entradas não nulas em colunas 3 e 4, fazemos
det A = a13,C13 + a14,C14,
onde C1j=(-1)^1+jdet M1j é o cofator na posição (1,j) e M1j o menor correspondente.

Passo 4

Calculamos det M13. O menor M13 é a matriz que sobra ao eliminar linha 1 e coluna 3:
M13 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 2 3 & 2 & 0
Logo
det M13 = 1cdotdet1&22&0 =1,(1cdot0 - 2cdot2) =-4
Como a13=-1 e o sinal de cofator em (1,3) é (-1)^4=+1, a contribuição é
a13C13 = (-1)times(+1)times(-4) =4

Passo 5

Calculamos det M14. O menor M14 vem de eliminar linha 1 e coluna 4:
M14 = 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1
Expandindo pela primeira linha,
det M14 =1cdotdet1&02&1 +1cdotdet2&13&2 =1,(1cdot1-0cdot2)+1,(2cdot2-1cdot3) =1+1=2
Aqui a14=-2 e o cofator em (1,4) tem sinal (-1)^5=-1, então
a14C14 = (-2)times(-1)times2 =4

Passo 6

Somando as contribuições das colunas 3 e 4,
det A = a13C13 + a14C14 = 4 + 4 = 8

Resposta

O determinante de A é 8.

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