Mostre que o determinante de uma matriz elementar nunca é zero, provando assim que matrizes elementares são todas invertíveis (faça uma prova para cada tipo de matriz elementar);

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos mostrar que o determinante de uma matriz elementar nunca é zero. Isso vai provar que todas as matrizes elementares são invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os diferentes tipos de matrizes elementares e como calcular seus determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da matriz identidade através de uma única operação elementar de linha. Existem três tipos principais de matrizes elementares:
  1. Troca de linhas: troca duas linhas da matriz.
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar: multiplica todos os elementos de uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adição de múltiplo de uma linha a outra linha: adiciona a uma linha um múltiplo de outra linha.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro tipo: Troca de linhas. Quando trocamos duas linhas da matriz identidade, o determinante dessa nova matriz é -1. Isso porque trocar duas linhas de uma matriz altera o sinal do determinante. Como -1 neq 0, o determinante não é zero.
Matematicamente:
Se E é uma matriz que troca duas linhas, então det(E) = -1 .

Passo 4

Agora, vamos para o segundo tipo: Multiplicação de uma linha por um escalar. Se multiplicarmos uma linha da matriz identidade por um número k (onde k neq 0 ), o determinante da nova matriz será igual a k . Novamente, como k neq 0 , o determinante não é zero.
Matematicamente:
Se E é uma matriz que multiplica uma linha por k , então det(E) = k .

Passo 5

Por último, temos o terceiro tipo: Adição de múltiplo de uma linha a outra linha. Quando adicionamos um múltiplo de uma linha a outra, o determinante da matriz resultante fica igual a 1, o que significa que não mudou em relação à matriz identidade.
Matematicamente:
Se E é uma matriz que adiciona k vezes uma linha a outra, então det(E) = 1 .

Resposta

Como vimos, em todos os três tipos de matrizes elementares, o determinante nunca é zero ( -1 , k neq 0 e 1 ). Portanto, todas as matrizes elementares são invertíveis.

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