Mostre que o determinante de uma matriz elementar nunca é zero, provando assim que matrizes elementares são todas invertíveis (faça uma prova para cada tipo de matriz elementar);
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos mostrar que o determinante de uma matriz elementar nunca é zero. Isso vai provar que todas as matrizes elementares são invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os diferentes tipos de matrizes elementares e como calcular seus determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da matriz identidade através de uma única operação elementar de linha. Existem três tipos principais de matrizes elementares:
- Troca de linhas: troca duas linhas da matriz.
- Multiplicação de uma linha por um escalar: multiplica todos os elementos de uma linha por um número diferente de zero.
- Adição de múltiplo de uma linha a outra linha: adiciona a uma linha um múltiplo de outra linha.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro tipo: Troca de linhas. Quando trocamos duas linhas da matriz identidade, o determinante dessa nova matriz é -1. Isso porque trocar duas linhas de uma matriz altera o sinal do determinante. Como
, o determinante não é zero.
Matematicamente:
Se é uma matriz que troca duas linhas, então
.
Se
Passo 4
Agora, vamos para o segundo tipo: Multiplicação de uma linha por um escalar. Se multiplicarmos uma linha da matriz identidade por um número
(onde
), o determinante da nova matriz será igual a
. Novamente, como
, o determinante não é zero.
Matematicamente:
Se é uma matriz que multiplica uma linha por
, então
.
Se
Passo 5
Por último, temos o terceiro tipo: Adição de múltiplo de uma linha a outra linha. Quando adicionamos um múltiplo de uma linha a outra, o determinante da matriz resultante fica igual a 1, o que significa que não mudou em relação à matriz identidade.
Matematicamente:
Se é uma matriz que adiciona
vezes uma linha a outra, então
.
Se
Resposta
Como vimos, em todos os três tipos de matrizes elementares, o determinante nunca é zero (
,
e
). Portanto, todas as matrizes elementares são invertíveis.