Problema 12 Verifique se os vetores u=(1,-1,0), v=(1,3,-1) e w=(5,3,-2) formam uma base de V^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
vec u=(1,-1,0), vec v=(1,3,-1) e vec w=(5,3,-2) formam uma base de R^3.
Para isso basta checar se eles são linearmente independentes, o que em R^3 é equivalente a ter determinante não nulo quando montamos uma matriz com eles como colunas.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são vec u,vec v,vec w:
A = 1 & 1 & 5 -1 & 3 & 3 0 & -1 & -2

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdot3 & 3 -1 & -2 -1cdot-1 & 3 0 & -2 +5cdot-1 & 3 0 & -1
Os menores valem
3 & 3 -1 & -2 =3cdot(-2)-3cdot(-1)=-6+3=-3,
-1 & 3 0 & -2 =(-1)cdot(-2)-3cdot0=2,
-1 & 3 0 & -1 =(-1)cdot(-1)-3cdot0=1
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det(A) = 1cdot(-3) - 1cdot2 + 5cdot1 = -3 -2 +5 = 0

Passo 4

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de R^3.

Resposta

Os vetores não formam base de R^3.

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