Resolva o sistema a seguir pelo método direto (exato) de Gauss (escalonamento). Lembre-se que os métodos exatos solucionam o sistema com um número finito de operações. (vale 20 \% da nota da prova).
2 x_{1}-x_{2}-x_{3}=0
x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=4
x_{1}-x_{2}-x_{3}=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}-x_{3}=0,\\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}=4,\\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}=-1 \end{cases}
pelo método direto de Gauss (escalonamento). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar e depois fazer retro-substituição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & \vline & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & \vline & 4\\\\ 1 & -1 & -1 & \vline & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos o pivô 2 na primeira linha para eliminar os termos abaixo em x_{1}.
R2 := R2 – \tfrac12R1 e R3 := R3 – \tfrac12R1 dão
\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & \vline & 0\\\\ 0 & \tfrac32 & \tfrac52 & \vline & 4\\\\ 0 & -\tfrac12 & -\tfrac12 & \vline & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora o pivô é \tfrac32 na segunda linha. Eliminamos o termo em x_{2} na terceira linha:
R3 := R3 – \frac{-\tfrac12}{\tfrac32}R2 = R3 + \tfrac13R2, resultando em
\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & \vline & 0\\\\ 0 & \tfrac32 & \tfrac52 & \vline & 4\\\\ 0 & 0 & \tfrac13 & \vline & \tfrac13 \end{pmatrix}.
Agora temos um sistema triangular superior.

Passo 5

Fazemos a retro-substituição:
  1. Da terceira linha:
\tfrac13\,x_{3} = \tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=1.
  1. Da segunda linha:
\tfrac32\,x_{2} + \tfrac52\cdot1 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac32\,x_{2} = 4 - \tfrac52 = \tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=1.
  1. Da primeira linha:
2\,x_{1} - 1 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,x_{1} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=1
x_{3}=1

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