( 1,5 pontos) Determine se a série
converge ou diverge, utilizando o teste da integral.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e o teste da integral: associamos à série a função
e verificamos se
converge.
Passo 2
Primeiro mostramos que
é positiva e monotonicamente decrescente para
. Calculamos
Para
temos
, logo
. Assim
é decrescente em
e podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Usamos a primitiva conhecida
Logo,
Como
, a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
converge e
é positiva e decrescente, então a série
converge.
Resposta
A série converge por comparação com a integral, já que