( 1,5 pontos) Determine se a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n}}
converge ou diverge, utilizando o teste da integral.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n}}
usando o teste da integral. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e o teste da integral: associamos à série a função
f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}
e verificamos se
\int_{3}^{\infty}f(x)\,dx
converge.

Passo 2

Primeiro mostramos que f(x)=x^{2}e^{-x} é positiva e monotonicamente decrescente para x\ge3. Calculamos
f'(x)=\bigl(x^{2}\bigr)'e^{-x}+x^{2}\bigl(e^{-x}\bigr)'=2x\,e^{-x}-x^{2}e^{-x}=x\,e^{-x}(2-x).
Para x\ge3 temos 2-x\le -1<0, logo f'(x)\le0. Assim f é decrescente em [3,\infty) e podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{3}^{\infty}x^{2}e^{-x}\,dx.
Usamos a primitiva conhecida
\int x^{2}e^{-x}\,dx=-e^{-x}(x^{2}+2x+2)+C.
Logo,
\int_{3}^{\infty}x^{2}e^{-x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-e^{-x}(x^{2}+2x+2)\Bigr]_{x=3}^{x=b} =\;0-\bigl[-e^{-3}(3^{2}+2\cdot3+2)\bigr] =e^{-3}(9+6+2) =17e^{-3}.
Como 17e^{-3}<\infty, a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se
\int_{3}^{\infty}f(x)\,dx
converge e f é positiva e decrescente, então a série
\sum_{n=3}^{\infty}f(n) =\sum_{n=3}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{n}}
converge.

Resposta

A série converge por comparação com a integral, já que
\int_{3}^{\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}\,dx=17e^{-3}<\infty.

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