Fórmula Integral de Cauchy Seja o a circunferência |z|=2. Calcule:
\int_{\gamma} \frac{e^{z}}{z} dz.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\int_{\gamma} \frac{e^{z}}{z}\,dz
onde \gamma é a circunferência \lvert z\rvert=2 orientada positivamente. O conteúdo principal aqui é a Fórmula Integral de Cauchy para funções analíticas ou, equivalentemente, o cálculo de resíduos em um polo simples.

Passo 2

Observe que a função
f(z)=e^{z}
é inteira (analítica em todo \mathbb{C}) e o integrando pode ser escrito como
\frac{f(z)}{z-0},
ou seja, temos um polo simples em a=0, que está dentro de \gamma. Pela Fórmula Integral de Cauchy, vale
\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,f(a).

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=0 e f(0)=e^{0}=1, obtém-se
\int_{\gamma}\frac{e^{z}}{z}\,dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i.

Resposta

2\pi i

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