[03] Dados os conjuntos
\begin{gathered} W_{1}=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right] \in M(2,2, \mathbb{R}) \right\rvert\, a=d, b=-3 c\right\} \\\ W_{2}=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right] \in M(2,2, \mathbb{R}) \right\rvert\, a=-5 d, b=c=0\right\} \end{gathered} .
Determine os subespaços vetoriais W_{1} \cap W_{2} e W_{1}+W_{2}. A soma de W_{1} e W_{2} é direta?

Passo 1

O enunciado trata de dois subespaços de M(2,2,\mathbb{R}):
W_{1}=\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}a & b\\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr]\mid a=d,\;b=-3c\Bigr\},
W_{2}=\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}a & b\\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr]\mid a=-5d,\;b=0,\;c=0\Bigr\}.
Queremos achar W_{1}\cap W_{2}, W_{1}+W_{2} e verificar se a soma é direta. O conteúdo é subespaços, intersecção, soma e soma direta.

Passo 2

Parametrizamos cada subespaço:
— Em W_{1} temos a=d e b=-3c. Logo
W_{1}=\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}a & -3c\\\ c & a\end{smallmatrix}\bigr]\mid a,c\in\mathbb{R}\Bigr\}.
— Em W_{2} temos b=c=0 e a=-5d. Logo
W_{2}=\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}-5d & 0\\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr]\mid d\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Passo 3

Para W_{1}\cap W_{2} um elemento genérico deve pertencer a ambos.
Seja
M=\bigl[\begin{smallmatrix}-5d & 0\\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr]\in W_{2}.
Para M\in W_{1} preciso de -5d=d, o que dá -6d=0\Rightarrow d=0. Então M é a matriz nula. Portanto
W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.

Passo 4

Um elemento de W_{1}+W_{2} é
\bigl[\begin{smallmatrix}a & -3c\\\ c & a\end{smallmatrix}\bigr] + \bigl[\begin{smallmatrix}-5d & 0\\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr] = \bigl[\begin{smallmatrix}a-5d & -3c\\\ c & a+d\end{smallmatrix}\bigr].
Chamando x=a-5d, y=-3c, z=c, w=a+d, vemos que y=-3z e x,w são livres (dá para resolver a,d em função de x,w). Logo
W_{1}+W_{2} =\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}x & y\\\ z & w\end{smallmatrix}\bigr]\mid y=-3z,\;x,w,z\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Passo 5

Como W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, a soma é direta.

Resposta

W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
W_{1}+W_{2} =\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}x & y\\\ z & w\end{smallmatrix}\bigr]\mid y=-3z\Bigr\}.
A soma é direta.

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