\begin{gathered} W_{1}=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right] \in M(2,2, \mathbb{R}) \right\rvert\, a=d, b=-3 c\right\} \\\ W_{2}=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right] \in M(2,2, \mathbb{R}) \right\rvert\, a=-5 d, b=c=0\right\} \end{gathered} .
Determine os subespaços vetoriais W_{1} \cap W_{2} e W_{1}+W_{2}. A soma de W_{1} e W_{2} é direta?
Passo 1
O enunciado trata de dois subespaços de M(2,2,\mathbb{R}):
W_{1}=\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}a & b\\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr]\mid a=d,\;b=-3c\Bigr\},
W_{2}=\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}a & b\\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr]\mid a=-5d,\;b=0,\;c=0\Bigr\}.
Queremos achar W_{1}\cap W_{2}, W_{1}+W_{2} e verificar se a soma é direta. O conteúdo é subespaços, intersecção, soma e soma direta.
Passo 2
Parametrizamos cada subespaço:
— Em W_{1} temos a=d e b=-3c. Logo
W_{1}=\Bigl\{\bigl[\begin{smallmatrix}a & -3c\\\ c & a\end{smallmatrix}\bigr]\mid a,c\in\mathbb{R}\Bigr\}.