Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
(e) W=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \mid 3 a_{2}-2 a_{0}=0\right\},

Passo 1

O enunciado define
W = \{\,a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \mid 3a_{2} - 2a_{0} = 0\}.
Queremos determinar se W é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Para isso, vamos verificar as três propriedades:
  1. o polinômio zero pertence a W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tem coeficientes a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=0. Substituindo na condição:
3\cdot 0 - 2\cdot 0 = 0,
logo o polinômio zero satisfaz a condição e pertence a W.

Passo 3

Sejam
p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} \quad\text{e}\quad q(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3}
em W. Então
3a_{2} - 2a_{0} = 0 \quad\text{e}\quad 3b_{2} - 2b_{0} = 0.
No polinômio soma p+q, os coeficientes são a_{i}+b_{i}. Então
3(a_{2}+b_{2}) - 2(a_{0}+b_{0}) = (3a_{2}-2a_{0}) + (3b_{2}-2b_{0}) = 0 + 0 = 0.
Portanto p+q satisfaz a condição e W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} em W e c\in\mathbb{R}. No polinômio c\,p os coeficientes são c\,a_{i}. Logo
3(c\,a_{2}) - 2(c\,a_{0}) = c\,(3a_{2}-2a_{0}) = c\cdot 0 = 0.
Assim c\,p satisfaz a condição e W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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