Considere W=\operatorname{ger}\{(1,1,-1,-1),(0,-2,1,0),(1,3,-3,-2)\} subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
(a) O vetor (1,1,0,0) \in W ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \mathrm{ger}\{(1,1,-1,-1),\;(0,-2,1,0),\;(1,3,-3,-2)\}
de \mathbb{R}^4 e pergunta se (1,1,0,0)\in W. Para verificar, buscamos escalares a,b,c tais que
(1,1,0,0) \;=\; a\,(1,1,-1,-1)\;+\;b\,(0,-2,1,0)\;+\;c\,(1,3,-3,-2).

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} a \;+\;0\cdot b \;+\;c = 1,\\\ a \;-\;2b \;+\;3c = 1,\\\\ -\,a \;+\;b \;-\;3c = 0,\\\\ -\,a \;+\;0\cdot b \;-\;2c = 0. \end{cases}

Passo 3

Da quarta equação -a -2c=0 segue
a = -2c.
Substituindo na primeira equação a + c =1
-2c + c = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = -1,
logo a = -2(-1)=2.

Passo 4

Com a=2 e c=-1, a terceira equação -a + b -3c =0 vira
-2 + b +3 =0 \quad\Longrightarrow\quad b = -1.
Verificando a segunda equação:
a -2b +3c = 2 -2(-1) +3(-1) = 2 +2 -3 =1,
coerente com o sistema.

Resposta

Sim. De fato, tomando a=2, b=-1, c=-1 temos
(1,1,0,0) = 2\,(1,1,-1,-1) -1\,(0,-2,1,0) -1\,(1,3,-3,-2),
logo (1,1,0,0)\in W.

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