Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
(f) W=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{1}-a_{0}=5\right\},

Passo 1

O enunciado define \displaystyle W=\{\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\mid a_{1}-a_{0}=5\}.
Queremos saber se W é subespaço de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Para isso usamos o teste de subespaço:
  1. W deve conter o polinômio zero.
  2. W deve ser fechado sob soma.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero 0+0x+0x^{2} pertence a W.
Nesse caso a_{0}=0 e a_{1}=0, logo
a_{1}-a_{0}=0-0=0\neq5.
Portanto o polinômio zero não está em W, falhando já a condição (1).

Passo 3

Como um subespaço vetorial deve obrigatoriamente conter o vetor zero (ou polinômio zero) e W não o contém, concluímos que W não é subespaço de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

W não é subespaço vetorial.

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