03 ( 1,0 ponto por item) Cale as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras do logaritmo, da exponencial e da cadeia. Avalie o ponto x=1.
f(x)=log 2 x-ln 2^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função f(x) = log2 x - ln 2^x , usando as regras de logaritmo, exponencial e a regra da cadeia. Depois disso, precisamos avaliar essa derivada no ponto x = 1 . Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de derivação que envolvem funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) . Sabemos que log2 x pode ser escrito usando logaritmo natural (ln) da seguinte forma:
log2 x = ln xln 2
Além disso, ln 2^x pode ser simplificado usando a propriedade dos logaritmos que diz ln a^b = b ln a :
ln 2^x = x ln 2
Então, substituindo essas simplificações na função original, temos:
f(x) = ln xln 2 - x ln 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de f(x) em relação a x . Lembre-se que a derivada de ln x é 1x e a derivada de x é 1 . Aplicando a regra da derivada:
f'(x) = ddx ( ln xln 2 ) - ddx (x ln 2)
Como ln 2 é uma constante, podemos tirar fora da derivada:
f'(x) = 1ln 2 cdot 1x - ln 2 cdot 1
Simplificando:
f'(x) = 1x ln 2 - ln 2

Passo 4

Finalmente, vamos avaliar a derivada no ponto x = 1 :
f'(1) = 11 cdot ln 2 - ln 2 = 1ln 2 - ln 2
Podemos deixar a resposta assim ou aproximar os valores numéricos:
ln 2 approx 0,6931 Rightarrow f'(1) approx 10,6931 - 0,6931 approx 1,4427 - 0,6931 approx 0,7496

Resposta

A derivada de f(x) no ponto x = 1 é aproximadamente 0,7496 .

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