03 ( 1,0 ponto por item) Cale as derivadas das seguintes funções fazendo uso das regras do logaritmo, da exponencial e da cadeia. Avalie o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
, usando as regras de logaritmo, exponencial e a regra da cadeia. Depois disso, precisamos avaliar essa derivada no ponto
. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de derivação que envolvem funções logarítmicas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que
pode ser escrito usando logaritmo natural (ln) da seguinte forma:
Além disso,
pode ser simplificado usando a propriedade dos logaritmos que diz
:
Então, substituindo essas simplificações na função original, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Aplicando a regra da derivada:
Como
é uma constante, podemos tirar fora da derivada:
Simplificando:
Passo 4
Finalmente, vamos avaliar a derivada no ponto
:
Podemos deixar a resposta assim ou aproximar os valores numéricos:
Resposta
A derivada de
no ponto
é aproximadamente
.